Wer kann mir beim Berechnen der Rippenbögen für ein OLOID-Skelett helfen?

Hallo liebe Leute,

ich möchte ein OLIOID-"Skelett" (Oloid: https://de.wikipedia.org/wiki/Oloid) aus Holz oder einem dünnen und leichten "Plattenwerkstoff" bauen und benötige Hilfe bei der Berechnung der "Rippenbögen". Konkret müsste ich die Länge der Strecken von P1 nach S1 / P2 nach S2 / P3 nach S3 in Abhängigkeit vom Radius (r) berechnen.

Gegeben ist der Kreis mit dem Radius (r) und dem Mittelpunkt M.
Die Länge der Strecke von M nach P1 = 1/4*r; von M nach P2 = 1/2*r;
von M nach P3 = 3/4*r
Die Punkte S1 - S3 liegen auf der Kreislinie und sind die Schnittpunkte der Senkrechten durch Punkte P1 - P3 mit der Kreislinie (siehe Skizze).

Vielen Dank für eure Hilfe.
Gruß
Simon

Answer 1

[LORDderANALYSE]

Das ist simpel:

Verbinde S1, P1 und M miteinander und du siehst ein rechtwinkliges Dreieck:

Die Position von P ist auf der x-Achse, also bei y = 0 und ein bestimmt durch den Radius / die Unterteilung:

Damit gilt für die Punkte P_n:

$P_n\left(\frac{n}{4}\cdot r\right)$

Da S_n immer über P_n liegt, teilen sie sich die selbe x-Koordinate aka r / n. Gemäß Trigonometrie gilt sin(phi) = Gegenkathete / Hypotenuse aka Gegenkathete = Hypotenuse * sin(phi), wobei die Gegenkathete die gesuchte höhe ist und die Hypotenuse der Radius r. Uns fehlt noch der Winkel phi. Wir wissen auch cos(phi) = Ankathete / Hypotenuse aka phi = arccos(Ankathete / Hypotenuse), wobei Ankathete / Hypotenuse die Unterteilung ist.

Damit gilt für die Punkte S_n:

$S_n\left(\frac{n}{4}\cdot r,r\cdot\sin\left(\arccos\left(n\cdot\frac{1}{4}\right)\right)\right)$

sin(arccos(x)) können wir gemäß den trigonometrischen Pythagoras noch vereinfachen:

sin(x)² + cos(x)² = 1 | -cos(x)²
sin(x)² = 1 - cos(x)² | sqrt()
sin(x) = sqrt(1 - cos(x)²)
sin(arccos(x)) = sqrt(1 + cos(arccos(x))²) = sqrt(1 - x²)

sin(arccos(n/4)) = sqrt(1 + cos(arccos(x))²) = sqrt(1 - (n/4)²)

$S_n\left(\frac{n}{4}\cdot r,r\cdot\sqrt{1-\left(\frac{n}{4}\right)^2}\right)$

Da sich P_n zu S_n nur in ihrer y-Koordinate unterscheidet, ist die Differenz der beiden y-Koordinaten die gesuchte Länge. Da P_n immer als y-Koordinate 0 hat und die Differenz von 0 und x immer |x| ist, ist die gesuchte Länge lediglich die schon bestimmte y-Komponente von S_n.

Damit erhältst du konkret:

$\overline{P_1S_1}=r\cdot\sqrt{1-\left(\frac{1}{4}\right)^2}=r\cdot\sqrt{1-\frac{1}{16}}$

$\overline{P_2S_2}=r\cdot\sqrt{1-\left(\frac{2}{4}\right)^2}=r\cdot\sqrt{1-\frac{1}{4}}$

$\overline{P_3S_3}=r\cdot\sqrt{1-\left(\frac{3}{4}\right)^2}=r\cdot\sqrt{1-\frac{9}{16}}$

Ich hoffe, dass das weiterhilft und bei weiteren Fragen stehe ich natürlich zu Verfügung.

PS

Coole Frage: hat Spaß gemacht sich ne Lösung zu überlegen

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathematikstudium

Answer 2

[eterneladam]

Hier hilft der Satz des Pythagoras, z.B. für die Länge der Strecke x von P1 nach S2,

x^2 + (r/4)^2 = r^2, somit x = Wurzel(15/16) r

Ich verweise auf die Skizze in der Antwort von LORDderANALYSE. Du kannst das Ergebnis auch mit seinem vergleichen.