Wellengleichung Lösungsformel D'Alembert?

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Man kann hier einen einfachen Produktansatz machen. Heißt nehme an, dass die Lösung die Gestalt:

u(x, t) = f(x)*h(t)

besitzt. Einsetzen liefert dann:

f(x)*h''(t) = 4*f''(x)*h(t)

Ein Vergleich der beiden Seiten liefert einem:

(i) h''(t) = c*h(t)

(ii) f''(x) = k*f(x)

mit Konstanten c und k. Für diese Konstanten muss gelten: c = 4*k; entsprechend lässt sich dann (i) umschreiben zu

(iii) h''(t) = 4k*h(t)

Bei (ii) und (iii) handelt es sich nun um einfache homogene DGL´s zweiter Ordnung deren Lösung direkt angegeben werden kann zu:

f(x) = A*cos(sqrt(k)*x) + B*sin(sqrt(k)*x)

h(t) = C*cos(2*sqrt(k)*t) + D*sin(2*sqrt(k)*t)

Aus den Nebenbedingungen folgt nun:

u(0, t) = 0 = f(0)*h(t) ---> A = 0

u(5, t) = 0 = f(5)*h(t) ---> sqrt(k)*5 = pi*n mit n aus IN\{0}

Wir erhalten damit also:

sqrt(k) = pi*n/5

Und damit schonmal für f(x):

f(x) = B*sin(pi*n/5 * x)

Somit nimmt u(x, t) die Gestalt:

u(x,t) = f(x)*h(t) = sin(pi*n/5 * x)*(E*cos(2*pi*n/5 *t) + F*sin(2*pi*n/5 *t))

wobei E = B*C und F = B*D gelte. Es folgt weiter:

u(x, 0) = 0 ---> E = 0

du(x,0)/dt = 5*sin(pi*x) = sin(pi*n/5 * x)*F*2*pi*n/5

Es folgt hieraus somit:

pi*n/5 = pi ---> n = 5

Und damit final

F*2*pi*n/5 = 2*F*pi = 5

Umstellen liefert:

F = 5/(2*pi)

Die Lösung lautet also:

u(x,t) = (5/(2*pi))*sin(pi* x)*sin(2*pi *t)

Vielen Dank!

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