tan(x) integrieren?

Warum kann man tan(x) nicht einfach als sin(x)/cos(x) integrieren?

Answer 1

[LORDderANALYSE]

Natürlich kann man das machen...

Einfach die Substitutionsregel anwenden.

Es muss nur für die Stammfunktion F(x) von der Funktion f(x) "F'(x) = f(x)" gelten.

So ist dann z.B. "-ln(cos(x)) + c" eine Stammfunktion dieser Funktion.

Beweis:

f(x) = tan(x)
F(x) = -ln(cos(x)) + c
F'(x) = (-ln(cos(x)) + c) * d / dx | Trennung der Ableitungsvariablen 
F'(x) = (-ln(cos(x)) * d/dx + c * d/dx | Konstantenregel
F'(x) = (-ln(cos(x)) * d/dx + 0
F'(x) = (-ln(cos(x)) * d/dx | Faktorregel
F'(x) = -(ln(cos(x)) * d/dx | Kettenregel und Ableitung des natürlichen Logarithmus
F'(x) = -(1 / cos(x)) * [cos(x) * d/dx] | Ableitung der Kosinusfunktion
F'(x) = -(1 / cos(x)) * -sin(x)
F'(x) = --sin(x) * 1 / cos(x)
F'(x) = +sin(x) * 1 / cos(x)
F'(x) = sin(x) * 1 / cos(x)
F'(x) = sin(x) / cos(x)
F'(x) = tan(x)
F'(x) = f(x)
-> F(x) = -ln(cos(x)) + c ist die Stammfunktion von tan(x).

Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung