Wellen: Amplitude berechnen?
Hallo,
ich verstehe diese Aufgabe nicht:
Zwei Wellen, die bis auf einen Phasenunterschied ϕ gleich sind, bewegen sich in gleicher Richtung eine Saite entlang. Beide Wellen haben eine Frequenz von ν = 100 Hz, eine Wellenlänge von λ = 2 cm und eine Amplitude von A = 2 cm. a) Wie groß ist die Amplitude der resultierenden Welle, wenn sich die Wellen in der Phase um π/6 unterscheiden? Wie groß, wenn sich die Phasen der Wellen um π/3 unterscheiden? b) Wie groß ist die Phasendifferenz der Wellen, wenn die resultierende Amplitude 2 cm sein soll? Geben Sie das Ergebnis in Grad an. Ich hab gedacht, dass ich das einfach in diese Funktion Y(t) = y(max)(w*t+ph) einsetzen kann, aber da habe ich dann doch 2 unbekannte oder?
2 Antworten
Ich bezeichne mit x1 und x2 die beiden Wellen:
x1 = x1_*sin(wt)
x2 = x2_*sin(wt+phi)
y = x1 + x2 mit dem Wissen dass sich die Wellen bis auf die Phasenverschiebung nicht unterscheiden:
y = x_*(sin(wt)+sin(wt+phi))
Es geht also jetzt nur rein um den Faktor
sin(wt)+sin(wt+phi)
Durch die Additionstheoreme des Sinus kommt man auf:
2 * sin((wt+wt+phi)/2) * cos((wt-(wt+phi))/2) = 2* sin(wt+phi/2) * cos(-phi/2) = 2* sin(wt+phi/2) * cos(phi/2)
Wenn wir diese letzte Funktion betrachten sehen wir dass sin(wt+phi/2) im Prinzip unsere neue Welle bezeichnet, welche gegenüber der Ursprünglichen Welle x1 eine Phasendrehung von phi/2 aufweist.
Den Faktor 2*cos(phi/2) können wir jetzt als Amplitude dieser Schwingung bezeichnen.
Eingesetzt in die Formel für y ergibt das:
y = x_*2*cos(phi/2)*sin(wt+phi/2)
oder anders geschrieben:
y = A*sin(wt+phi/2) mit der Amplitude A = x_*2*cos(phi/2)
oder konkret für dein Beispiel A(phi) = 2cm*2*cos(phi/2) = 4cm * cos(phi/2)
Einfach für die gefragten Phasenverschiebungen in phi einsetzen und du hast die Antwort zu der Amplitude der Schwingung.
Für Beispiel b musst du nur diese Formel nach phi umformen.
Auf die Antwort zu b) kommt man auch durch einfaches überlegen.
Wenn A1 = 2cm = Amax und Ages = 2cm dann muss A2 = 0 sein. Ergibt eine Verschiebung um 90 Grad.