Welche Eigenschaften kann man aus einem Sattelpunkt ablesen?
Wenn ich bei einer Rekonstruktion von Funktionen einen Sattelpunkt gegeben bekomme, welche Eigenschaften kann ich daraus ablesen?
3 Antworten
Es ist eine dreipunktige Berührung. Dort ist nicht nur ein Wendepunkt, sondern auch eine waagrechte Tangente.
Bei einer Sreckbriefaufgabe kann ich drei Gleichungen daraus ableiten.
es gäbe mehrere Argumente? angenommen ich nehme so ein x²-Zeichenschablone und lege die mit dem offenen Bereichnach links zeigend hin, so dass ich ins Koordinatensystem eine Art konvexe/Tal-Form male, vom unten links nach rechts nur bis zum Max/Ursprung der x² und dann nehme ich die Schablone und lege sie umgekehrt hin, also dass der offene Bereich nach rechts zeigt und male vom Max aus nach oben rechts und baue in den beiden Max-Punkten einen Sattel - das wäre dann nur ein Wendepunkt, aber kein Sattel, ähnlich wie bei Gauß-Funktion, wo der Wendepunkt links und rechts mittig ist?
An sich sind in Funktionen die Sattel ja ähnlich, nur dass das Ganze aufrecht steht.
Wenn der Sattelpunkt der Funktion f an der Stelle a ist, gilt:
f'(a) = 0
f'' (a) = 0
was bedeutet das gleich noch mal? Was das so?:
f'(x) = 0 mit dem Graph f(x)
f'(x) ist die erste Ableitung der Funktion f(x) mittels derer man die Steigung eines Graphen an einem beliebigen Punkt x auf dem Graphen bestimmen kann.
Steigung bedeutet, dass man an einer Funktion an der Stelle x eine Gerade anlegen könnte, die den Graphen lediglich in einem Punkt, nämlich x, berührt. Die Gerade würde dann die Steigung (an einem Punkt steigt der Graph bei einer Einheit nach rechts z. B. um zwei Einheiten nach oben) angeben.
Und diese Steigung lässt sich mittels der 1. Ableitung für jeden beliebigen Punkt am Graphen berechnen. Wenn die Steigung 0 ist, dann handelt es sich um einen Sattelpunkt, da der Graph weder steigt noch fällt an dieser Stelle und der Graph selbst sich ändert - entweder von konxex zu konkax oder umgekehrt.
Der Nachweis wäre dann ebenso die zweite Ableitung an dem Punkt x, was 0 ergeben muss.
Was willst du damit aussagen? Der Fs weiß mit sicherheit was eine Ableitungsfunktion ist. Falsche Fachsprache und teilweise falsche Inhalte
(x ist idR eine Variable (und als solche hast du x auch benutzt), wir betrachten aber eine bestimmte Stelle
ein Punkt braucht zwei Koordinaten, alles andere ist eine Stelle
dein Steigungsdreieck ergibt bei einer Steigung von 0 überhaupt keinen Sinn
wenn die erste Ableitung an der betrachteten Stelle 0 ist, liegt nicht zwangsläufig ein Sattelpunkt vor; auch ein Hoch-/Tiefpunkt ist möglich; nur wenn zusätzlich die zweite Ableitung null ist liegt tatsächlich ein Sattelpunkt vor)
helfen dem Fs keinesfalls.
sorry für die Unübersichtlichkeit
Ich wollte nur fragen, ob es richtig hergeleitet wurde am Verlauf eines Graphen mit der Variable x. Ein Sattelpunkt hat die Steigung 0, klar, aber ich wollte eben den Unterschied zwischen einer normalen Steigung an einem Punkt x erklären, um damit den Unterschied zum Sattelpunkt zu verdeutlichen und auch erklären, wozu so eine Ableitung einer Funktion da ist und was eine Steigung an einem Graphen bedeutet bzw. wie man sich das Ergebnis solcher Berechnungen graphisch vorstellen kann.
Ich bin natürlich nicht so gut in Mathe wie Sie und visualisiere einige Dinge auch anstatt nur mit Formeln um mich zu werfen, denn ich finde, man muss Dinge auch veranschaulichen können, damit man eben zeigt, dass man es verstanden hat. Denken Sie nicht? Ihr prollige, unhöfliche Art lässt jedoch darauf schließen, dass das Ihnen egal ist und Sie lediglich mit Formeln um sich werden... aber das ist schon wieder weg vom Thema.
Ich hab keine einzige Formel benutzt, aber k.
Und ich bin jetzt mal davon ausgegangen, dass der Fs nicht grenzdebil ist und sich zur Visualisierung einfach ein Bild eines Sattelpunktes ergooglen könnte, wenn er nicht wüsste was das ist.
Die zweite Ableitung f''(x) wäre dann quasi die Steigung der Tangente (f'(x)) an dem Punkt x.
Wenn also die Tangente/Gerade f'(x) entweder eine waagerechte oder senkrechte Linie ist, die man an den ursprünglichen Graphen im Punkt x anlegt, und die Tangente bei einem Schritt nach rechts nicht steigt oder fällt, dann handelt es sich um einen Sattelpunkt. f''(x) bestimmt also die Steigung von f'(x) an dem Punkt x.
den Wechsel von konvex zu konkav oder von konkav zu konvex
Konkav ist eine Funktion, wenn sie von links nach rechts wie eine Art Berg ansteigt. Wenn sie am Maximalpunkt dann zu konex wechselt, ändert sich die Steigung so, dass sie rapider wird. Im konveexen Bereich sieht der Graph von links nach rechts wie ein Tal aus.
Im konkaven Bereich steigt sie also anfangs steil an und dann mässig steil, also die Steigung nimmer zum Sattelpunkt hin immer mehr ab.
Der Sattelpunkt kennzeichnet den Wendepunkt von konkav zu konxex oder umgekehrt.
Im konvexen Bereich steigt der Graph zunächst dann allmählich an und wird von der Steigung her von links nach rechts immer steiler.
nur eine waagerechte Tangente? Könnte es nicht auch eine senkrechte sein, wenn man den Graph nach rechts um 90 Grad kippt?