Was ist der unterschied zwischen einer Funktion und einer Relation?
Habe vieles im i-net durchgelesen aber brauche kleine Ergänzungen um es richtig zu verstehen. Würde mich auf eure Antworten freuen.
3 Antworten
Eine Relation zwischen zwei Mengen A und B ist eine Teilmenge von A x B, d.h. eine Menge von Paaren (a,b), wobei a ein Element aus A ist und B ein Element aus B.
Beispielsweise könnten wir uns A definieren als die Menge aller Menschen, die (mindestens) ein Auto besitzen und B als die Menge aller Autos. Dann sagen wir, dass ein a in Relation zu einem b steht genau dann, wenn a das Auto b besitzt. Formal würde das so geschrieben werden:
R := { (a,b) ∈ A x B | a besitzt b}.
Hierbei steht R für die betrachtete Relation.
Funktionen sind nun spezielle Relationen: Zusätzlich muss für eine Funktion gelten, dass es für jedes a∈A genau ein b∈B gibt, sodass (a,b) in der Relation liegt. In der Schule sagt man: "Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem x genau ein y zuordnet." In der Uni sagt man: "Eine Funktion ist eine Relation, die linkstotal und rechtseindeutig ist." Beides meint genau dasselbe.
Wenn wir zum Beispiel unser R von oben betrachten, dann können wir uns fragen, ob R vielleicht sogar eine Funktion ist. Wir können diese Frage schnell verneinen:
Zwar besitzt jeder Mensch, der mindestens ein Auto besitzt, ein Auto (offensichtlich), aber es gibt einen Menschen, der sogar zwei unterschiedliche Autos besitzt. Das heißt, es gibt ein a∈A und zwei b,b'∈B mit b ≠ b', sodass sowohl (a,b) als auch (a,b') Elemente von R sind. Damit ist die Rechtseindeutigkeit gestört.
F: genau eine Zuordnung (für x) (z.B eine Parabel)
R: mehrere davon. (z.B. ein Kreis)
Wenn du schon weißt, was eine Funktion ist, muss ich das ja nicht länger erläutern, sondern nur die Relation.
Eine Relation ist entweder wahr oder falsch, z.B. ist das Gleichheitszeichen eine Relation. Normalerweise wird eine Relation einfach als eine Teilmenge von AxB für beliebige Mengen AxB gesehen. Das bedeutet in Funktionenschreibweise, dass für die Identitätsfunktion I(R): AxB -> AxB mit der Relation A-R-B und
(a,b), aRb wahr
I(R)(a,b) = {
I(R), aRb falsch
aRb genau dann wahr ist, wenn (a,b) ∈ Def(I(R)).
Bedeutet im Klartext: Eine Relation ist nicht unbedingt eine Funktion, sie lässt sich aber dadurch definieren.
Dass Funktionen eindeutig sind, ist mir bewusst. Relationen sind dies aber auch. Zwar nicht als Abbildung von A nach B aber in der Existenz eines Elements von AxB in der Definitionsmenge der Identitätsfunktion meiner Relation oder nicht (wie oben). (a,b) ist in der Definitionsmenge oder nicht, ein Drittes kann es nicht geben.
Anmerkung: Das ganze geht auch andersrum: Jenachdem, was ihr zuerst eingeführt habt, könnt ihr Relationen als spezielle Funktionen definieren oder Funktionen als spezielle Relationen :)