Warum kann ein LGS mit 3 Gleichungen und 4 Unbekannten nur entweder keine oder unendlich viele Lösungen haben?

Das liegt daran, dass man durch umformen oder z.b. das Additionsverfahren auf z.b. eine Abhängigkeit von X1, X2 und x3 von x4 kommt. Das bedeutet für unterschiedliche x4 entstehen neue Werte für die X1,X2 und x3=> unendlich viele Lösungen.

Ausnahme: es besteht ein Widerspruch in sich:

X1=1

X1=2

X1+X2+x3+x4=1. => keine Lösung

1) a11*x+a12*y+a13*z=b1

2) a21*x+a22*y+a23*z=b2

wir setzen nun z=1 ergibt

1) a11*x+a12*y=b1-a13

2) a21*x+a22*y=b2-a23

Das ist dann ein lineares Gleichungssystem mit den Unbekannten,x und y und 2 Gleichungen,also lösbar,wenn die 2 Gleichungen unabhängig voneinander sind.

Sind also beide Gleichungen unabhängig voneinander,so gibt es unendlich viele Lösungen,weil man 1 Unabhängige frei wählen kann.

Sind die beiden Gleichung voneinander abhängig,so gibt es eine Widerspruch und das LGS ist nicht lösbar.

Das gilt auch bei´ḿ LGS mit 4 unbekannte und nur 3 Gleichungen.

Du brauchst immer so viele Gleichungen wie Unbekannte. Machen wir doch mal ein Beispiel mit den Unbekannten a, b, c und d:

(1) 2a+3b+2c-d=0
(2) a-b=2c
(3) d=4b

Wir können jetzt z.B. (3) in (1) einsetzen:
2a+3b+2c-4b=2a-b+2c=0

Nun setzen wir (2) in (1) ein:
2a-b+a-b=3a-2b=0

Durch Umstellen erhalten wir a=(2/3)b

Damit können wir auch alle anderen Unbekannten von b Abhängig machen:

a-b=(2/3)b-b=(-1/3)b=2c daraus folgt: c=(-1/6)b

Und d=4b ist ja schon bekannt aus (3).

Das alles in (1) ergibt:
(4/3)b+3b-(2/6)b-4b=0. Sieht ja auf den ersten Blick schön aus, wenn b=0 ist die Gleichung erfüllt und man sieht direkt dass a, c, und d auch 0 sind.
So, aber schauen wir mal was passiert wenn b NICHT 0 ist. Dann teilen wir das ganze mal durch b und erhalten:
(4/3)+3-(2/6)-4=0=0. Also 0=0. Mit anderen Worten: Wir könnten für b jede beliebige Zahl einsetzen und die Gleichung wäre trotzdem erfüllt. Das Gleichungssystem hat also keine eindeutige Lösung.