Volumen durch Integralrechnung berechnen?
Ganz ehrlich, ich habe keinen Plan wie ich da überhaupt anfangen soll ... wie komme ich von der Diagonale auf A? Und was mache ich dann? Hilfe!
1 Antwort
Hallo,
in jedem Quadrat kommst Du von der Diagonale auf die Kantenlänge, indem Du die Diagonale durch die Wurzel aus 2 teilst.
Die Fläche des Quadrats ist dann die Kantenlänge hoch 2.
Wenn die Diagonale d ist, ist die Fläche also d²/2.
Hier ist die Diagonale nicht d, sondern 8-z²/2. Wenn Du diesen Term anstelle von d einsetzt, bekommst Du die Fläche des Gewölbequerschnitts in Abhängigkeit von der Höhe.
Stell Dir nun vor, jede Fläche in der jeweiligen Höhe wäre nicht zweidimensional, sondern hätte noch eine dritte Dimension, wobei die dritte infinitesimal klein wäre.
Grobvorstellung: Du baust das Gewölbe aus lauter Teppichen, die aus Quadraten bestehen, die nach oben hin immer kleiner werden. Das Volumen eines jeden Teppichs wäre die Fläche mal die Höhe.
Wären die Teppiche unendlich dünn, müßtest Du unendlich viele von ihnen übereinanderstapeln, um das Gewölbe nachzubilden.
Die Summe der Volumina dieser einzelnen Quader ergibt das Volumen des Gewölbes.
Nichts anderes tut das Integral.
Du machst folgendes: Du bildest eine Formel, die die Fläche des Querschnitts abhängig von der Höhe berechnet (wie war das noch mal mit der Diagonale eines Quadrates und seiner Fläche?) und integrierst von 0 bis 4, denn das Ding ist vier Einheiten hoch.
Das Ergebnis ist das gesuchte Volumen.
Herzliche Grüße,
Willy
Vielen Dank erstmal für die ausführliche Beschreibung! Aber bei mir kommt noch immer was falsches raus .. ich denke ich habe die falsche Formel. Integral von ((8-(x/2)^2)/2??