Verständnisfrage zur vollst. Induktion?
Also kann man zusammenfassend sagen das die vollst. Induktion immer dann anwendbar ist, wenn jede Zahl einen konkreten Nachfolger besitzt, wobei die Menge der Zahlen entweder nach unten beschränkt sein muss, oder ein expliziter Startwert gegeben ist?
1 Antwort
Hallo,
ist mathematisch wahrscheinlich nur unvollständig und nicht ganz sauber formuliert, aber die Wahrheit geht schon in diese Richtung meiner Meinung nach.
Mit der Induktion beweist Du ja etwas wie:
Was für eine beliebige Zahl gilt, gilt auch für ihren Nachfolger, womit schon klar ist, daß das nur mit Zahlen funktioniert, die eindeutig bestimmbare Nachfolger besitzen, die Differenz zwischen Zahl und Nachfolger somit gleichbleibend und bekannt sein muß. Ohne einen Anfang klappt es auch nicht, denn über diesen wird ja gezeigt, ob die Sache überhaupt funktioniert und nicht von vornherein falsch ist, so daß man sich den Rest des Beweises sparen kann und lieber ein bißchen an die frische Luft geht.
Das Prinzip ist letztlich immer gleich: Ich zeige, daß das, was auch immer behauptet wird, für einen Startwert stimmt. Wenn ja, mache ich weiter und prüfe, ob das, was behauptet wird, für eine beliebige Zahl, auch für deren Nachfolger gilt.
Wenn dies auch der Fall ist, ist der Beweis erbracht, denn wenn die Behauptung für eine beliebige Zahl und ihren Nachfolger gilt, gilt sie natürlich auch für die Startzahl und ihren Nachfolger, für den Nachfolger der Startzahl und dessen Nachfolger usw. bis in Ewigkeit. Amen.
Herzliche Grüße,
Willy
Wie wichtig der Induktionsanfang ist, siehst Du an folgendem Beispiel:
Behauptet wird, daß 2+n=n+3.
Du setzt für n zunächst eine 1 ein, überprüfst aber nicht die Richtigkeit der Gleichung, sondern übernimmst sie ungeprüft:
2+1=1+3=4.
Normalerweise wäre hier schon Schluß, denn jeder Erstklässler weiß, daß 2+1 3 ergibt und nicht 4. Dir aber ist das egal und Du machst einfach weiter.
Wenn 2+n=n+3, dann muß gelten: 2+(n+1)=(n+1)+3
2+(n+1)=(2+n)+1 nach dem Assoziativgesetz, und da 2+n=n+3 laut Behauptung, steht links (n+3)+1.
Die Klammern vertausche ich nach dem Kommutativgesetz:
1+(n+3), fasse nach dem Assoziativgesetz zu (1+n)+3 zusammen, vertausche die Summanden in der Klammer, so daß ich (n+1)+3 als Ergebnis erhalte, also genau das, was auf der rechten Seite der Gleichung stand.
Somit ist 'bewiesen', daß 2+n=n+3 und somit zum Beispiel 2+1=1+3, also 3=4 etc.
Alles an diesem Beweis stimmt - nur der Anfang nicht, denn 2+n ist nun einmal nicht n+3.