Umkehrfunktion von (x-2)^2 und von wurzel(x-2)?

y = (x-2)²

Für die Berechnung der Umkehrfunktion x und y vertauschen:

x = (y-2)² │√

√x = y-2 │+2

2 + √x = y

=> f(x)^-1= √x + 2

Und dazu die Bedingung: x ≥ 0

=================================

Die 2. Aufgabe hast du richtig gelöst.

Das ist bei quadratischen Funktionen nicht so einfach! Die Umkehrfunktion ist die Spiegelung der Ursprungsfunktion an der Winkelhalbierenden y=x (dabei werden Definitions- und Wertemenge der beiden Funktionen vertauscht). Die Parabel würde man dabei quasi "auf die Seite legen", d. h. man hätte je x-Wert 2 y-Werte, d. h. man hätte keine Funktion mehr. Daher muss man eine Fallunterscheidung machen (einmal bis zum Scheitelpunkt, und einmal ab dem Scheitelpunkt):

y=(x-2)² |Wurzel
Wurzel(y)=|x-2|

d. h.
1) Wurzel(y)=x-2 und (x-2)>=0, also x>=2 <=> x=Wurzel(y)+2 => f^-1(x)=Wurzel(x)+2
2) Wurzel(y)=-(x-2) und (x-2)<0, also x<2 <=> x=-Wurzel(y)+2 =>f^-1(x)=-Wurzel(x)+2

Betrachtet man also D(f)=R>=2, dann gilt die Umkehrfunktion aus 1); nimmt man D(f)=R<2, dann gilt Umkehrfunktion 2).

Du musst f(y) bilden, also nach x umstellen:

(x-2)^2 = y | √

x-2 = √y    | +2

x = √y + 2

Damit gilt : y = √x + 2 . Die 2 gehört nicht mehr zur Wurzel

nö, die 2 gehört nicht unter die Wurzel

f^-1 : y = wurzel(x) + 2