Überschneiden sich Geradengleichung und Geradensegment aus 2 Punkten?

Angenommen ich habe folgende Geradengleichung:

$ax+by+c=0$

Die Koeffizienten kenne ich. Nun habe ich zwei Punkte:
$P1\ =\ \left\{\ X1,\ Y1\ \right\}$ $P2\ =\ \left\{\ X2,\ Y2\ \ \right\}$ Auch diese kenne ich.

Verbinde ich nun P1 mit P2 durch eine Gerade, wie finde ich heraus ob sich diese beiden kreuzen? Beispiele mit 2 Geradengleichungen oder 2 Liniensegmenten habe ich einige gefunden.

Hier ein Beispiel. Die Gerade schneidet sich mit der Linie die aus P3 zu P4 ergibt, nicht jedoch mit der die sich aus P1 zu P2 ergibt.

Answer 1

[Mathmaninoff, UserMod Light]

Die Strecke zwischen P₁ und P₂ beschreibt man mit

$[P_1; P_2] = \{(1-\lambda)P_1 + \lambda P_2 \vert \lambda \in [0; 1]\}$

Gleichung: $a[(1 - \lambda) X_1 + \lambda X_2] + b[(1 - \lambda) Y_1 + \lambda Y_2] + c = 0$ Wenn λ ∉ [0;1], liegt der Punkt außerhalb.

Bei zwei Geradensegmenten hätte man das Gleichungssystem $(1 - \lambda)X_1 + \lambda X_2 = (1 - \mu) X_3 + \mu X_4 \\ (1 - \lambda)Y_1 + \lambda Y_2 = (1 - \mu) Y_3 + \mu Y_4$

Answer 2

[Halbrecht]

umstellen

y = -a/b*x - c/b 

dann ist -a/b die steigung 

.

Kein Kreuzen wenn die steigungen gleich sind 

.

Daher reichte es 

(y1 - y2) / ( x1 - x2) zu bestimmen 

und mit -a/b zu vergleichen

Comments

[Neralem]

Aber nur weil die Steigungen nicht gleich sind, heißt das doch nicht das sie sich kreuzen? Dem wäre so wenn es sich um 2 Geradengleichungen handeln würde, oder?

[Halbrecht]

@Neralem

Dem wäre so wenn es sich um 2 Geradengleichungen handeln würde, oder?. Richtig , ich habe überlesen , dass du von Geradensegmenten , also Strecken sprichst !

[Neralem]

Habe nochmal ein Bild zu meiner Frage hinzugefügt. Die beiden haben unterschiedliche Steigungen aber kreuzen sich nicht.

[Neralem]

-a/b = -(-1/1) = -1
(y1 - y2) / ( x1 - x2) = (2 - 0) / (2 - 3) = -2
(y3 - y4) / ( x3 - x4) = (1 + 1) / (2 - 1) = 2

Bin mir nicht sicher was mir das sagt?