Shannon-Nyquist Abtasttheorem?
Ein einfaches sinusförmiges Signal wurde 100 Mal pro Sekunde äquidistant abgetastet. Dabei sind folgende Messwerte ermittelt worden:
0
0,2486899
0,4817537
0,6845471
0,8443279
0,9510565
0,9980267
0,9822873
0,9048271
0,7705132
0,5877853
0,3681246
0,1253332
-0,1253332
-0,3681246
-0,5877853
-0,7705132
-0,9048271
-0,9822873
-0,9980267
-0,9510565
-0,8443279
-0,6845471
-0,4817537
-0,2486899
-2,449294e-16
0,2486899
0,4817537
0,6845471
0,8443279
Nennen Sie zusätzlich zur Lösung der letzten Aufgabe zwei weitere Frequenzen eines möglichen Signals, das diese Messwerte verursacht haben könnte. (mit Lösungsweg, bitte)
Ich habe bereits errechnet, dass die minimale Frequenz 4 Hz beträgt.
Das wäre meine Antwort aber ich bin mir extrem unsicher um das so stimmt.
Wir suchen eine Frequenz, sodass der Wert des Signals alle k * 0.01 Sekunden (mit k Element aus N) den selben Wert wie sin(k * 0.01 * 2 * 8 * pi) hat. Also:
sin(k * 0.01 * 2 * 4 * pi) = sin(k * 0.01 * 2 * f * pi)
sin(k * 0.08 * pi) = sin(k * 0.02 * f * pi)
Sinus ist mit 2 * pi periodisch. D.h. die Ausdrücke sind genau dann gleich, wenn der Phasenunterschied ein vielfaches von 2 * pi ist. Also:
k * 0.08 * pi = k * 0.02 * f * pi + 2 * n * pi (n Element aus Z)
0.08 = 0.02 * f + 2 * n (für k != 0)
f = 4 - 100 * n
Man kann dies auch wörtlich erläutern: Wir tasten mit einer Frequenz von 100 Hz ab und haben eine Grundfrequenz von 4 Hz. Da Signale periodisch sind müssen sie also immer nach einer Periode von einem vielfachen der Abtastfrequenz (100 Hz) addiert mit der Start- bzw. Grundfrequenz (4 Hz) den gleichen Wert haben, woraus sich die genannte Formel ergibt.
Zwei mögliche Frequenzen wären also:
f1 = 104 Hz
f2 = 204 Hz
Ist das korrekt? Danke im Voraus
Zusätzlich stellt sich die frage was die maximal mögliche Frequenz wäre? Wäre diese theoretisch unendlich groß?
1 Antwort
Was ist in dem Fall die Minimale Frequenz?
Die Maximale Frequenz entspricht der Hälfte der Sampling Frequenz.
Wenn du also 10Hz Sampling Frequenz hast dann ist die Maximale Frequenz 5Hz.
Ein 4Hz Signal würde dann bei Addition der Samplingfrequenz gleich aussehen, also ein 14Hz und 24Hz Signal würde in dem Fall die selben Werte erzeugen wie das 4Hz Signal.
Ich kenne allerdings deine Samplingfrequenz nicht weil du sie nicht angegeben hast.
50Hz.
Das Nyquist Shannon Theorem sagt dass die größte Rekonstruierbare Frequenz fs/2 ist wobei fs die Samplingfrequenz ist.
Wenn du es dir mit einem Sinus vorstellst hast du bei fs/2 genau 2 Abtastpunkte pro Kurve.
Wenn du ein Rad hast dann scheint es ab Frequenzen größer als fs/2 Rückwärts zu laufen. Bei fs würde es scheinbar wieder stillstehen.
Das macht Sinn, dass es maximal 50 Hz sein können. Aber ein bei einer Sampling Frequenz von 100 Hz könnten doch ausschließlich Signale mit 104, 204, ... Hz die gleichen Abtastpunkte haben wie das 4 Hz Signal oder? Hieße das, das Signal mit der größtmöglichen Frequenz, welches die gleichen Punkte beim Abtasten wie das 4 Hz Signal durchläuft gäbe es hier gar nicht? Bzw 4 Hz ist auch gleichzeitig das größte?
vielen Dank, das hilft schon einmal weiter! Die Sampling Frequenz liegt bei 100 Hz. Weißt du, welches die maximal mögliche rekonstruierbare Frequenz wäre?