Schnittwinkel Gerade/Ebene warum sin?

3 Antworten

Es kommt immer darauf an, was gegeben ist. Ist der Abstand vom einem Punkt der Gerade zur Ebene plus der Schnittpunkt gegeben, bietet sich der sinus an (das Lot auf der Ebene bildet den rechten Winkel).
Schaue dir nochmal den Sinus, Cosinus und Tangens am Dreieck an. Anhand dessen, welche Seiten gegeben sind, wendest du die entsprechende trigonometrische Funktion an.

Ob man Sinus oder Cosinus nimmt ist eigentlich egal. Wenn man aber den Sinus verwendet spart man sich einen Rechenschritt.

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http://www.schule-bw.de/unterricht/faecher/mathematik/3material/sek2/linalg/ebenen/winkel_ebene_gerade.pdf

Warum aber den Sinus? Normalerweise würde es auch mit dem Kosinus gehen, nur würde man dann den Winkel zwischen dem Vektor n und dem Richtungsvektor r Geraden berechnen, in der Zeichnung den grünen Winkel. Danach müsste man noch 90°-diesen Winkel rechnen. Nach den Phasengesetzen des Sinus und Kosinus gilt aber: cos(90°-alpha)=sin(alpha).

Wir können uns also einen Rechenschritt sparen, wenn wir direkt den Sinus anwenden. Ansonsten ist die Rechnung identisch mit dem Schnittwinkel zweier Geraden, man multipliziert hier jedoch nicht zwei Richtungsvektoren miteinander, sondern den Richtungsvektor der Geraden und den Normalenvektor der Ebene.

Du berechnest (ganz normal mit cos) zunächst den Winkel zwischen der Gerade und der Normale der Ebene - nennen wir diesen mal alpha. Anschließend musst Du alpha dann natürlich noch von 90° subtrahieren, da Du ja genau am "anderen" Winkel phi = 90° - alpha interessiert bist.

Schnellere Alternative: Statt dieser zwei Schritte erhältst Du wegen

sin( phi ) = sin( 90° - alpha ) = cos( alpha )

sofort den gewünschten Winkel phi, wenn Du anstatt des cos den sin verwendest.

Schnittwinkel ist alpha

Sinus alpha = Gegenkathete/Hypotenuse

Wenn du allerdings permanent antwortest, statt den Kommentar zu benutzen, wirst du demnächst vom Support was auf die Finger bekommen. Das haben viele schon erlebt. Und wenn die Frage gelöscht wird, sind auch all deine schönen Antwortpunkte wieder weg.

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@Volens

Ja. Ich weiß. Normalerweise mach ich das auch nicht. Die Punkte sind mir übrigens egal. Darauf achte ich nicht so sehr. Ich hab' ja keine Ahnung von den Mathethemen, die heutzutage im Lehrplan stehen. Aber als Matheinteressierter helfe ich gerne bei der Lösung solcher Probleme.

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