Schachturnier Kombinatorik-Aufgabe?

2 Antworten

Hallo,

bei n Spielern gibt es 1+2+...+n-1 Spiele, wenn jeder gegen jeden spielt.

Da die Summenformel für die Summe 1+2+...+n-1+n bekanntlich (n/2)*(n+1) lautet,

was schon der kleine Gauß wußte, lautet die Summenformel für 1+2+...+n-1

natürlich [(n-1)/2]*n.

Das ist die Zahl der Spiele bei n Spielern.

Kommen 2 Spieler dazu, hast Du es jetzt mit n+2 Spielern zu tun und damit

mit [(n-1+2)/2]*(n+2) Spielen.

Laut Aufgabe ergibt die zweite Gleichung 37 Spiele mehr als die erste, daher gilt:

[(n-1)/2]*n+37=[(n+1)/2]*(n+2)

Aus der 37 machst Du 74/2, damit die linke Seite auf einen Bruchstrich kommt:

[(n-1)*n+74]/2=[(n+1)*(n+2)]/2

Die Gleichung kannst Du mit 2 multiplizieren, um den Nenner loszuwerden:

(n-1)*n+74=(n+1)*(n+2)

Ausmultiplizieren:

n²-n+74=n²+3n+2

n² kann auf beiden Seiten gestrichen werden:

-n+74=3n+2

72=4n

n=18

Herzliche Grüße,

Willy

dabei hat "der einst kleine Gauß" heute Geburtstag, was ein Zufall. :-)

1
@HeniH

Praktisch.

Dann konnte er nach einer ausgiebigen Geburtstagsfete am nächsten Tag ausschlafen (1. Mai).

Herzliche Grüße,

Willy

0

(n + 2) * (n + 1) / 2! - n * (n - 1) / 2! = 37

(n + 2) * (n + 1) / 2 - n * (n - 1) / 2 = 37 | *2

n² + 3n +2 - n² + n = 74 | zusammenfassen

4n + 2 = 74 | -2

4n = 72 | :4

n = 18

Antwort wäre also, es waren ursprünglich 18 Spieler gemeldet, als noch 2 hinzukamen, sind es 20 Spieler.

Jetzt werden also 19 * 20 /2 = 190 Spiele gespielt

vorher wären es:

17 * 18 / 2 = 153 gewesen

190 - 153 = 37 (Spiele mehr)

LG,

Heni

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