Rotatierendes symmetrisches Trapez?
Aufgabe: Gegeben ist ein symmetrisches Trapez mit den Parallelen Seiten a und c und der Höhe h. Bestimme eine Formel zur Berechnung des Volumens des Körpers, der bei Rotation des Trapezes
a) um die längere Seite a entsteht,
b) um die kürzere Seite c entsteht.
Ich verstehe diese Aufgabenstellung nicht. Könnte mir das jemand erklären?
1 Antwort
Entweder du kannst schon integrieren, dann brauchst du nur die Gerade von-bis
oder du rechnest es mit einem Kegelstumpf aus (großer Kegel - kleiner Kegel). Formeln in der Formelsammlung.
Weiter helfen kann man dir, wenn man weiß, was du weißt.
Rotieren bedeutet: sich drehen.
Wenn das Trapez sich um die mittlere Höhe dreht, gibt es den erwähnlten Kegelstumpf. Das ist ganz einfach, weil man sich dann nur die Grundfläche überlegen muss, die ja ein Kreis ist.
A = π r²
Allerdings sollst du bei beiden Aufgaben um eine der parallelen Seiten rotieren lassen. Das ergibt andere Figuren, wie ich gerade feststelle.
Da ich nicht teilweise vergeblich erklären möche, musst du mir wirklich mitteilen, ob ihr in der Schule schon die Intergration gemacht habt und ob du sie auch kannst.
Also brauchen wir für a) eine Figur, die so aussieht:
ein Zylinder in der Mitte mit Radius h und Höhe c. Auch wenn der Zylinder auf seinem Mantel liegt, bleibt die Höhe eine Höhe.
Das Volumen dieses Zylinders ist:
V₁ = π h² c
Grundfläche mal Höhe
Oben und unten (bzw. links und rechts) gibt es zwei gleich große Kegel mit derselben Grundfläche wie der Zylinder, aber einer Höhe je Kegel von
(a - c) / 2
Mit der Kegelformel erhalten wir für einen Kegel das Volumen
V₂ = 1/3 π h² (a - c) / 2
Da wir V₂ zweimal brauchen, ist
2 V₂ = 1/3 π h² (a - c)
Das Gesamtvolumnen ist
V = V₁ + 2 V₂
Am besten rechnet man die Summanden getrennt aus und addiert dann, wenn man für a, c und h Zahlenwerte bekommt. Das ist vor allem deshalb gut, weil wir bei Auggabe b) subtrahieren müssen.
b) Falls man um c herumdreht, ist das Volumen dafür
V = V₁ - 2 V₂
weil die beiden Kegel jetzt nach innen gekippt sind.
-
Ich weiß gerade mal, was ein symmetrisches Trapez ist. Ich weiß nicht Mal, was mit Rotieren gemeint ist.