Frage zu Rotationskörper?
Und zwar habe ich die Aufgabe gestellt bekommen: Berechnen sie das Volumen, welches durch die Rotation des Graphen der Funktion f(x)= -3,75x^4 + 15x^2 und der x-Achse eingeschlossenen Flächenstücks im ersten Quadranten entsteht.
Ich verstehe welche Fläche berechnet werden soll, jedoch bin ich bei der Berechnung selber verwirrt und möchte gerne eine Erklärung.
Vielen Dank für jede Hilfe
2 Antworten
Hallo,
zunächst stellst Du fest, wo die Nullstellen der Funktion sind, damit Du weißt, wo die Integrationsgrenzen liegen.
-3,75x^4+15x^2=0
Du klammerst -3,75x^4 aus:
-3,75x^4*(x^2-4)=0
x^2-4 kannst Du nach der dritten binomischen Formel zu (x+2)*(x-2) umformen.
So kommst Du auf die Nullstellen x=-2, x=0 und x=2.
Da es nur um das Volumen im ersten Quadranten geht, kannst Du die Nullstelle x=-2 ignorieren, denn Du integrierst nur von x=0 bis x=2
Der Rotationskörper ist die Summe unendlich vieler unendlich dünner Kreisscheiben, deren Radien jeweils f(x) ist.
Da die Formel für die Kreisfläche A=π*r² ist und r=f(x), ist das Volumen des Rotationskörpers π*∫(f(x))²dx
(f(x))²=(-3,75x^4+15x^2)^2=14,0625x^8-112,5x^6+225x^4
Die Stammfunktion dazu lautet (ohne Integrationskonstante C):
(25/16)x^9-(225/14)x^7+45x^5 (zweite binomische Formel)
Wenn Du hier von 0 bis 2 integrierst, reicht es, für x die 2 einzusetzen, denn für x=0 wird das Dings Null und irgendwas minus Null gleich irgendwas.
So kommst Du auf 182,857 Einheiten.
Multipliziert mit π: 574,46 Volumeneinheiten.
Herzliche Grüße,
Willy
Ja, ist sinnvoll. Sollte natürlich auch -3,75x^2 heißen, habe mich vertippt.
Noch eine kurze Frage...wahrscheinlich ist es eigentlich relativ offensichtlich, aber da ich es präsentieren muss will ich es zu 100% verstehen..
Also benutzt man die Formel für die Kreisfläche, weil es beim rotieren eher ovalförmig ist, nicht wahr?... Ich hatte vor einigen Tagen sogar den Gedanken von einem Ellipsoid oder denke ich in die falsche Richtung?...
Nein. Du benutzt die Kreisformel, weil die unendlich vielen unendlich dünnen Scheiben kreisförmig sind.
Du mußt Dir das so vorstellen, daß Du die unregelmäßig geformte Kurve an der x-Achse spiegelst und zwischen den Integrationsgrenzen lauter Kreisscheiben mit unterschiedlichen Radien an der x-Achse auffädelst. Die Höhe dieser Scheiben geht gegen Null, ihre Zahl gegen unendlich. Die Radien entsprechen jeweils dem Funktionswert der Stelle, an der sie verankert sind.
Das Integrationszeichen sieht wie ein langgestrecktes S aus und symbolisiert eine Summe unendlich vieler unendlich kleiner Rechtecke, die insgesamt die Fläche unter der Kurve ergibt.
Entsprechend verhält es sich mit den Kreisscheiben und dem Rotationskörper.
Stell Dir die Funktion f(x)=x vor und die Fläche, die sie zwischen x=0 und x=3 und der x-Achse bildet.
Wenn der Graph dieser Funktion (eine Linie, die in einem Winkel von 45° vom Koordinatenursprung aus verläuft) um die x-Achse rotiert, bekommst Du einen Kegel, der an der Basis einen Radius von 3 hat, denn f(3)=3.
Du kannst das Volumen dieses Kegels grob durch drei Zylinder darstellen, die Du nebeneinander auf der x-Achse auffädelst (in der Mitte haben sie ein Loch). Der erste hat einen Radius von 1, der zweite von 2, der dritte von 3. Die Höhe ist bei allen gleich 1.
So bekommst Du ein Volumen von 1*Pi*1²+1*Pi*2²+1*Pi*3²=14Pi Einheiten. Da sich die Zylinder nur grob dem Kegel annähern, ist dieses Volumen natürlich nicht gleich dem Kegelvolumen, das bekanntlich 1/3*Pi*3²*3=9Pi beträgt.
Machst Du die Zylinder aber dünner, passen zwischen x=0 und x=3 mehr von ihnen auf die x-Achse. Sind sie halb so dick, passen doppelt so viele hinein.
Bei Zylindern mit einer Höhe von 0,5 statt 1 bekämst Du schon 6 unter. Ihre Volumina wären 0,5*Pi*0,5²+0,5*Pi*1²+0,5*Pi*1,5²+0,5*Pi*2²+0,5*Pi*2,5²+0,5*Pi*3²=
0,5Pi*(0,25+1+2,25+4+6,25+9)=11,375Pi, was schon deutlich näher an dem wirklichen Wert von 9Pi liegt als die 14Pi von vorhin.
Du kannst Dir vostellen, daß das Ergebnis immer näher an 9Pi heranrückt, je dünnere und je mehr Zylinder Du zwischen x=0 und x=3 aufreihst.
Der Grenzwert dieses Spiels liegt dann eben bei unendlich vielen und unendlich dünnen Zylindern oder eben Pi mal dem Integral von (f(x))²
Willy
Volumenintegral eines Rotationskörpers: Integral über 2 pi f²
"Du klammerst -3,75x^4 aus:"
Man klammert -3,75x^2 aus, oder?