Restgliedabschätzung Exponentialreihe?
Hallo ihr Lieben! Ich lerne gerade für eine Mathe-Prüfung der Uni und bin jetzt bei Exponentialreihen, genauer der Restgliedabschätzung hängen geblieben. Ich versteh nicht mal was da überhaupt steht, geschweige denn was das für einen Sinn hat und warum man das macht. Hab mir auch schon viel dazu im Internet durchgelesen aber überall steht einfach nur die gleiche Formel die ich nach wie vor unverständlich finde. Wenn mir das einer von euch erklären könnte, eventuell mit einem Beispiel...ich wäre euch so unendlich dankbar O.o Hab mal ein Bild mitgeschickt wie es bei uns im Skript steht. Dankee :)
3 Antworten
Welche Formel meinst du denn? Die Rechnung im Beweis auf dem zweiten Bild? Oder auch schon die Aussage des Satzes?
Stupide auswendig lernen ist in Mathe eh nicht. :) Nun, man braucht es, um zu wissen, wie gut die Näherung ist, wenn man die Reihe nach N Gliedern abbricht. Es sind ja unendlich viele Terme im Restglied, da muss man schon sehr gut aufpassen, wenn man sie einfach vernachlässigt!
Zum Beweis: Welche der drei Schritte sind dir unklar?
Also exp(x) ist ja eigentlich eine (unendliche) Reihe. Das taucht so ja auch im Beweis auf.
Nun willst du vielleicht exp(x) in einem Computer für eine Berechnung nutzen. Der Computer kann nun aber mal nur endlich viele Schritte in endlicher Zeit durchführen. Du musst also die Entwicklung der Reihe bei einem N abbrechen.
Die Abschätzung des Restgliedes kann hier auch als eine Abschätzung des Fehlers verstanden werden, den du bei dieser Annäherung machst. Hier sind zwei Aussagen von Bedeutung:
- Der Fehler ist nicht sonderlich kompliziert, sondern kann durch das nächste Folgenglied der Reihe (multipliziert mit 2) abgeschätzt werden. Er hat also eine einfache Gestalt.
- Wenn du dir einen (maximalen) Fehler vorgibst, ermöglicht dir diese (einfache) Abschätzung das N zu berechnen, welches du für deine gewünschte Genauigkeit benötigst.
Ich hoffe, dass dir das zum Verständnis weiterhilft.
Solche Reihenentwicklungen benutzt man, wenn man konkrete Zahlenwerte bei mathematischen Funktionen ausrechnen will. Natürlich kann man nicht alle Reihenglieder berechnen, das sind unendlich viele, aber das braucht man auch nicht. Stellt man beispielsweise fest, daß das Restglied, also der "Schwanz" der Reihe weniger als 0,0001 ausmacht, kann man sicher sein, daß die ersten vier bereits berechneten Nachkommastellen korrekt sind.
Naja die Aussage an sich ist ja recht verständlich (auch wenn ich mich immer frage, wer sich so was ausdenkt). Aber warum braucht man das? Ich bin ein Mensch der sich das erstmal logisch vorstellen muss, stupide Formeln (auswendig) lernen ist nicht..Ja und der Beweis ist mir auch unklar..