Quadratzahlen berechnen?
Wie berechnet man das wenn nur das ergebnis steht z.b ? =324
3 Antworten
Die Wurzel von 324 ist 18. Wie ich darauf komme? Ich weiß ungefähr in welchem Bereich sie liegen zwischen 10 und 20. Dann schau ich zu welcher Zahl die 4 am Ende passt das ist die 12 und 18. 12 kommt nicht hin muss es also die 18 sein.
2-Wurzeln kann man auch schriftlich ziehen, dazu brauchst du die binomische Formel:
(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2.
Zuerst unterteilst du dazu die gegebene natürliche Zahl von rechts ausgehend in 2er Gruppen. Dann bestimmst du von der ersten Gruppe von links aus, eine einstellige oder zweistellige Zahl x, die größte (einstellige) Zahl, deren Quadrat nicht größer ist als x. Diese Zahl ist die gesuchte erste Stelle. Die Quadratzahl ziehst du von x ab. Zu dem Ergebnis hängst du die zweite Gruppe an.
Zur Bestimmung jeder nachfolgenden Stelle i brauchen wir nun die obige binomische Formel. a = a’ • 10 wo a’ das bisherige Zwischenergebnis aus den zu ermittelten Stellen ist und b ist die gesuchte nächste Stelle.
Wurde nun a^2 von den ersten i Gruppen des Radikanten subtrahiert, so müssen wir die Differenz c durch 2a teilen und das Ergebnis darstellen als
c/(2a) = b Rest d
wo b die größte Zahl ist mit d >= b^2.
Nun subtrahieren wir von c die Zahlen 2ab und b^2. Dadurch haben wir von den ersten (i+1) Gruppen ((a + b)•10)^2 subtrahiert und (a + b) ist das neue Zwischenergebnis aus den zu ermittelnden Stellen.
Wir können den Schritt daher wiederholen.
Dein Beispiel:
324
Zuerst die Gruppierung, wir erhalten 2 Gruppen:
Gruppe 1: 3
Gruppe 2: 24
Wir fangen mit der Zahl 3 aus Gruppe 1 an und bestimmen die größte Zahl, deren Quadrat nicht größer ist als 3.
Da 4 = 2^2 > 3 ist, ist die erste Stelle des Radikands 1. Wir ziehen das Quadrat der Zahl von 3 ab “3 - 1 = 2” und hängen Gruppe 2 an die Differenz an, wie erhalten die Zahl
c = 224
und das Zwischenergebnis a’ = 1.
Die Voraussetzungen für die Bestimmung der 2 Stelle sind erfüllt. a^2, wo a = a’ • 10 = 10, wurde von den ersten 2 Gruppen des Radikands subtrahiert (die letzten 2 Stellen von a^2 sind Nullen). Die Differenz ist c.
Nun müssen wir c durch 2a teilen und das Ergebnis darstellen als
224/20 = c/(2a) = b Rest d
mit natürliche Zahlen b, d für die d >= b^2 gilt.
Für b = 9 bleibt der Rest d = 224 - 20•9 = 24 < 81 = 9^2 also 9 ist nicht die nächste Stelle, für b = 8 bleibt der Rest d = 224 - 20•8 = 64 = 8^2. b = 8 ist also die 2. Stelle des Radikands. Nun subtrahieren wir von c die Zahlen 2ab = 160 und b^2 = 64 und erhalten
c - 160 - 64 = 224 - 224 = 0.
Damit sind wir fertig:
18^2 = 324.
Du machst ne Primfaktorzerlegung und wenn dann jede Primzahl in einer geraden Anzahl vorkommt, ist die Wurzel eine ganze Zahl. Dann multipliziert du jeweils die Hälfte der Primzahlen, das Ergebnis ist dann die gesuchte Zahl.