Optimierungsprobleme Mathe Flächeninhalt?
Also durch Corona gibt es natürlich keinen Lehrer der mir jetzt das neue Thema und zwar Optimierungsprobleme erklären kann. Die Aufgabe lautet "ein 18 cm langer draht soll zu einem rechteck gebogen werden. für welche seitenlänge x ist der flächeninhalt a) genau 4,25 cm^2, 11,25cm^2 groß und wann am größten?"
Ich habe schon Lösungswege gesehen die iwie t1t2=0 aber ich verstehe diesen weg einfach nicht, also wenn ihr diesen weg anwendet bitte mit erklärung wenn möglich
mein ansatz ist: (9-y)y=4,25
9y-y^2=4,25
aber wie nun weiter?
2 Antworten
Die gesuchte Größe,die optimiert werden soll, liefert immer die Hauptgleichung (Hauptbedingung).Die Hauptbedingung hat mindestens 2 Unbekannte oder mehr und man muß nun mindestens 1 Unbekannte,durch eine Nebengleichung (Nebenbedingung) ersetzen
1) Ar=a*b Fläche eines Rechtecks ist die gesuchte Größe,di optimiert werden soll
2) U=2*a+2*b ist der Umfang des Rechtecks.Ist die Nebengleichung (Nebenbedingung)
aus 2) 2*b=U-2*a →b=U/2-a in 1)
Ar(a)=a*(U/2-a)=-a²+U/2*a
Ar(a)=-1*a²+U/2*a ist eine Parabel der Form f(x)=a2*x²+a1*x
nun die Extrema bestimmen.Eine Kurvendiskussion durchführen
abgeleitet
Ar´(a)=0=-2*a+U/2 Nullstelle bei a=U/4=18cm/4=4,5 cm
nun prüfen,ob ein Maximum oder Minimum vorliegt
Ar´´(a)=-2<0 also ein Maximum bei a=4,5 cm
b=18cm/2-4,5=4,5cm
also ist das ein Quadrat weil a=b=4,5cm A=a*a=²=(4,5cm)²=20,25 cm²
Ar(a)=4,25cm²=-1*a²+18cm/2*a=-1*a²+9*a
0=-1*a²+9*a-4,25 dividiert durch -1
0=a²-9*a+4,25*a hat die Form 0=x²+p*x+q Nullstellen mit der p-q-Formel
x1,2=-p+/-Wurzel((p/2)²-q)
a1,2=-(-99/2+/-Wurzel((9/2)²-4,25)=4,5+/-4
a1=4,5+4=8,5cm und a2=4,5-4=0,5 cm
Den Rest schaffst du selber.
9y - y² = 4,25
ist eine quadratische Gleichung.
Weißt du, wie man quadratische Gleichungen löst (evtl. benötigt man zum Lösen noch weitere Umformungen=?
pq- oder abc-Formel?
Nein das letzte Thema was wir in der Schule hatten war Parabeln entlang der y-Achse strecken. Kannst du es mir erklären wie du es lösen würdest?