Nullstellen Berechnen?
Hallo, ich habe Schwierigkeiten mit der Aufgabe b,c und d, kann mir jemand weiterhelfen...?
Danke im Voraus :)
3 Antworten
f(x) = x ^ 3 - 4 * x ^ 2 + 4 * x
b.)
Der Beginn der Messungen ist bei x = 0, also f(0) ausrechnen :
f(0) = 0 ^ 3 - 4 * 0 ^ 2 + 4 * 0 = 0
Das bedeutet zu Beginn der Messung hat überhaupt gar kein Schnee gelegen.
c.)
Der Schnee ist dann vollständig weggetaut, wenn f(x) = 0 ist.
Dass f(0) = 0 ist weiß man bereits, man soll aber überprüfen ob das später auch noch mal passiert ist.
Deshalb rechnet man die Nullstellen von f(x) aus :
x ^ 3 - 4 * x ^ 2 + 4 * x = 0
Ein x ausklammern :
x * (x ^ 2 - 4 * x + 4) = 0
Aus dem Satz des Nullproduktes (google danach !) kann man erkennen, dass eine Nullstelle bei x = 0 liegen muss, dass wissen wir aber schon.
Die restlichen Nullstellen berechnen wir über den in der Klammer verbliebenen Term :
x ^ 2 - 4 * x + 4 = 0
pq - Formel anwenden (googel danach !) :
x = 2
Also, am Tag 2 war der Schnee vollständig weggetaut.
d.)
f(x) = x ^ 3 - 4 * x ^ 2 + 4 * x
1-te Ableitung bilden :
f´(x) = 3 * x ^ 2 - 8 * x + 4
Die Nullstellen der 1-ten Ableitung berechnen :
3 * x ^ 2 - 8 * x + 4 = 0 | : 3
x ^ 2 - (8 / 3) * x + (4 / 3) = 0
pq - Formel anwenden (googel danach !) :
x = 2 / 3
x = 2
Anhand des Graphen siehst du, dass an der Stelle x = 2 ein Minimum liegt.
Das Maximum liegt bei x = 2 / 3
f(2 / 3) ausrechnen :
f(2 / 3) = (2 / 3) ^ 3 - 4 * (2 / 3) ^ 2 + 4 * (2 / 3) = 32 / 27 ≈ 1,2 cm
2 / 3 eines Tages sind (2 / 3) * 24 Stunden = 16 Stunden
Also, 16 Stunden nach Beginn der Messungen war der Schnee am höchsten und lag 1,2 cm hoch.
Wenn du es ohne Ableitung machen sollst, nur anhand der Zeichnung, dann versuche x mit einem Lineal abzuschätzen und dann rechnest du f(x) aus.
Du musst dir überlegen, was dir die Funktion sagt. In diesem Fall die Höhe in Abhängigkeit von der Zeit. Da du bei der b die Schneehöhe zu Beginn der Zeitmessung haben möchtest, ist das x also 0. Das setzt du ein und bekommst dein Ergebnis. Für die c musst du prüfen, ob der der Schnee nochmal im gesamten Intervall weggetaut ist. Also wenn kein Schnee mehr da wäre, heißt das es liegen 0 cm Schnee. Also wäre der y-Wert 0. Nun prüfst du ob die Funktion in diesem Intervall 0 werden kann. Du prüfst also eigentlich auf Nullstellen. Bei der d schaust du dir an wann der Schnee am höchsten ist. Das sollst du am Graphen ablesen. Da siehst du eindeutig wann der Schnee am höchsten ist und setzt den zugehörigen x-Wert in die Gleichung ein und erhältst den maximalen y-Wert für die Schneehöhe.
b) f(0)=0, also 0 cm
c) f(x)=x*(x^2-4x+4)=x*(x-2)^2. Der Schnee ist damit am 2. Tag ganz abgetaut.
d) Der Graph ist am höchsten bei x=4, f(4)=12.