Modellierung mit Exponentialfunktionen?
Ich komme ab e nicht mehr weiter. Bei e musste ein Problem geben, aber ich kann es nicht erkennen. Und bei nr. 21 genau so. Ich weiß nicht, was ich da falsch mache, und kann mein Fehler nicht erkennen.
Ich danke euch im voraus.
4 Antworten
Hey,
was für einen Ansatz hast du denn bei Aufgabe 20 e) für G(t) bis jetzt schon ausprobiert?
Und bei 21 e) ist es normalerweise der einfachste Weg einfach F(x) nach x abzuleiten und mit der Funktion f(x) zu vergleichen.
20 e) Wachstumsrate f(t)=0,5*t*e^(-0,25*t) zum Zeitpunkt t=0 → f(0)=2500 Elefanten
G(t)=0,5*t*e^(-0,25*t)+2500
21 Kurvendiskussion durchführen
a) f(5)=500*5*e^(-0,1*5)=1516,32 → liegt vor dem Maximum → Kurve steigt
f´(t)=m>0 positive
b) Extrema bestimmen → ableiten und Nullstellen bestimmen
Produktregel (u*v)´=u´*v+u*v´
Kettenregel f´(x)=z´*f´(z)=innere Ableitung mal äußere Ableitung
elementare Ableitung f(x)=e^(x) → f´(x)=e^(x)
f(t)=500*t*e^(-0,1*t)
u=500*t → u´=du/dt=500
v=e^(-0,1*t) nach der Kettenregel → Substitution (ersetzen) z=-0,1*t z´=dz/dt=-0,1
f(z)=e^(z) → f´(z)=e^(z)
v´=dv/dt=z´*f´(z)=-0,1*e^(-0,1*t)
f´(t)=500*e^(-0,1*t)+(500*t)*(-0,1)*e^(-0,1*t) nun e^(-0,1*t) ausklammern
f´(t)=e^(-0,1*t)*(500-50*t)
f´(t)=0=e^(-0,1*t)*(500-50*t) Satz vom Nullprodukt c=a*b hier c=0 wenn a=0 oder
b=0 oder a=b=0
e^(-0,1*t) kann nicht NULL werden
0=500-50*t → t=500/50=10
Maximum bei tmax=10 f(10)=1839,391
überprüfen auf Maximum oder Minimum → noch mal ableiten
f´´(t)=... wieder Produktregel anwenden
Bedingung Maximum f´(x)=0 und f´´(x)<0
Bedingung Minimum f´(x)=0 und f´´(x)>0
c) f(t)=f(tmax)/2=1839,39/2=919,695 Anrufe pro Minute
919,69=500*t*e^(-0,1*t) kann man nicht nach t auflösen
Kann man nur durch Probieren ermitteln oder mit einem Graphikrechner (GTR,Casio),wie ich einen habe
0=500*t*e^(-0,1*t)-919,69 → t1=2,319... und t2=26,78..
also bei t2=t=26,78 → fallender Teil der Funktion
d) ermitteln,wo die Steigung der Funktion f´(t)=m=... ein Extrema hat
noch mal ableiten f´´(t)=0=..... → Nullstellen ermitteln
mit f´´´(x)=... prüfen auf Maximalwert von f´´(x)=.. oder Minimmalwert f´´(x)=..
e) Stammfunktion F(t)=.... → abgeleitet ergibt f(t)=500*t*e^(-1*t)
Den Rest schaffst du selber.
Prüfe auf Rechen- und Tippfehler.
Was für ein Problem hast du denn? In e) ist eine Funktion F gegeben, für die du zeigen sollst, dass sie eine Stammfunktion von f ist. Etwas genauer ist also zu zeigen, dass
f = dF/dt
gilt. Damit kannst du auch leicht die Anrufe innerhalb der ersten Stunde ermitteln als
F(60) - F(0).
Edit: Wenn sich der Aufruf auf Teilaufgabe d) bezieht, musst du natürlich erst diesen Zeitpunkt t0 bestimmen und dann
F(t0+60) - F(t0)
berechnen.
bei Exponentialfunktionen der Form f(x)=0=e^(x)+a*x+c
kann man nicht nach x umstellen oder ausrechnen.
Die Nullstellen werden angenähert durch probieren herausgefunden und dann verbessert man den Wert mit einer dieser Näherungsformeln.
Nach Newton (Tangentenverfahren) oder nach Regula falsi (Sehnenverfahren)
Infos,vergrößern und/oder herunterladen
