wie groß ist die mittlere Wachstumsrate in dieser Zeit?
Aufgabe:
Ein Mikrobenbestand lässt sich durch die Funktion: 200*e^0,25*t
beschreiben. Er wird acht Stunden beobachtet.
wie groß ist die mittlere Wachstumsrate in dieser Zeit?
1 Antwort
f(t)=200*e^(0,25*t) mit to=0 und t1=8 Stunden
f(0)=200*e^(0,25*0)=200*1=200
f(8)=200*e^(0,25*8)=1477,81
Differenzenquotient m=(y2-y1)/(x2-x1) mit x2>x1
das ist die mittlere Änderungsrate
mit P1(x1/y1)=(0/200) und P2(x2/y2)=(8/1477,81)
m=(1477,81-200)/(8-0)=1277,81/8=159,726..Bakterien/Stunde
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die momentane Wachstumsrate ist die 1,te Ableitung der Funktion f(x)=..
also f´(x)=...
Beispiel: f(x)=0,5*x² abgeleitet f´(x)=0,5*2*x=1*x=x
Steigung an der stelle xo=2 ,→ f´(xo)=f´(2)=m=2
Winkel zwischen der Tangente in Punkt P(xo/yo) und der x-Achse
tan(a)=Gk/Ak=m → (a)=arctan(m)=arctan(2)=63,43°
kommt aus der Gleichung m=(y2-y1)/(x2-x1) x2>x1
geht nun das Intervall x2-x1 gegen NULL
dann ergibt sich der "Differnetiakquotient y´=dy/dx=f´(x)
da s ist die Steigung an jeden beliebigen Punkt xo an der Funktion f(x)
Bei dir N(t)=200*e^(0,25*t) abgeleitet mit der Kettenregel f´(x)=z´*f´(z)
Substitution (ersetzen) z=0,25*t abgeleitet z´=dz/dt=0,25
f(z)=e^(z) abgeleitet f´(z)=e^(z) siehe Mathe-Formelbuch elementare Ableitungen
f(x)=e^(x) abgeleitet f´(x)=e^(x)
N´(t)=200*z´*f´(z)=200*0,25*e^(0,25*T)=50*e^(0,25*t)
N´(t)=m=50*e^(0,25*t)
eine Verdoppelung der momentanen Änderungsrate ist abhängig vom gewählten Zeitpunkt
Beispiel: t1=1 Stunde
N´(1)=m1=50*e^(0,25*1)=64,20 → m2=m1*2=64,20*2=128,4
N´(t2)=m2=128,4=50*e^(0,25*t2)
128,4/50=2,568=e^(0,25*t2) logarithmiert
ln(2,568)=0,25*t2
t2=ln(2,568)/0,25=3,775..Stunden
Probe: N´(3,77)=50*e^(0,25*3,775)=128,4 momentane Änderungsrate bei t2=3,77 Std
Danke, wie groß wäre dann die momentane Wachstumsrate zu Beobachtungsende? Und in welcher Zeitspanne würde sich die momentane Rate verdoppeln?