Mathe Funktionseigenschaften?
Hi, brauche dringend Hilfe! Bitte nur kurz schreiben wahr oder falsch und eine ganz ganz kurze Begründung oder sowas... Vielen Dank! Falls es mir jemand dann noch erklären könnte, wäre das Top!
2 Antworten
a) Eine lineare Funktion hat eine konstante Steigung. Ein Hoch- oder Tiefpunkt erfordert, dass die Steigung an dem Extrempunkt m = 0 ist, also f'(x) = 0, aber die Steigung darf trotzdem nicht konstant sein, sonst wäre es ja kein Hoch- oder Tiefpunkt.
Somit ist diese Aussage wahr!
Die einzige Ausnahme machen absolute Extrempunkte, wenn man einen eingeschränkten Definitionsbereich hat. Aber das wird hierbei sicherlich nicht berücksichtigt!
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b) Die Aussage ist nicht richtig, kann aber richtig sein.
Beispiel an der Normalparabel - wir berechnen die Exptrempunkte:
f(x) = x²
f'(x) = 2x
f''(x) = 2
Weiter brauchst du gar nicht rechnen. Denn man setzt anschließend die Nullstelle in die 2. Ableitungsfunktion ein. Aber diese Funktion ist eine lineare Funktion, und dort können wir nichts einsetzen, weil keine Variable vorhanden ist.
f''(x) > 0, deswegen haben wir hier einen Tiefpunkt.
Gegenbeispiel: f(x) = -x²
Das ist also wie du siehst wieder die Normalparabel, die aber nach unten geöffnet ist, und nicht mehr nach oben. Alleine deswegen weißt du schon, dass die Funktion keinen Tiefpunkt, sondern Hochpunkt besitzen muss.
Trotzdem nochmal mit mathematischem Beleg:
f(x) = -x²
f'(x) = -2x
f''(x) = -2
Hier ebenso das selbe, nur eben anders herum:
f''(x) < 0, deswegen haben wir hier einen Hochpunkt.
Die Aussage ist also grundsätzlich falsch, denn sie gilt nur teilweise.
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c) Wenn die Ableitungsfunktion f' eine quadratische Funktion ist, dann muss die Ausgangsfunktion f eine (ganzrationale-) Funktion 3. Grades sein.
Wenn die Ableitung 2 Nullstellen hat, muss die Ausgangsfunktion auch 2 Extrempunkte haben. 2 Hochpunkte hintereinander sind nicht möglich, genauso wenig wie 2 Tiefpunkte hintereinander.
Sattelpunkte sind spezielle Wendepunkte und gehören nicht zur "Gruppe" bzw. "Klasse" der Extrempunkte.
Somit ist diese Aussage richtig!
d) Das ist nur richtig, sofern wir die Wendepunkte (und somit auch Sattelpunkte) nicht betrachten.
Doch da wir hier ja von allem ausgehen müssen, ist diese Aussage falsch!
Es kann statt einem Extrempunkt auch ein Wendepunkt bzw. Sattelpunkt sein, der kein Extrempunkt ist!
e) Richtig. Das ist das selbe wie bei d).
Die Nullstellen der Ableitungsfunktion sind die Extremstellen der Ausgangsfunktion.
Wichtig:
Wir reden von Stellen, also nur der x-Koordinate! Die y-Koordinate der Nullstellen und Extremstellen ist nicht die selbe!
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Liebe Grüße
TechnikSpezi
zu a) lineare Funktion = Gerade, diese hat keine Extrempunkte => wahr
zu b) quadratische Funktion = Parabel,
die Parabel kann nach oben geöffnet sein und hat dann einen Tiefpunkt
oder die Parabel ist nach unten geöffnet und hat dann einen Hochpunkt
=> falsch
zu c) unklar, was ist mit doppelten Nullstellen? Sonst richtig.
zu d) nein, f''(x) muss dann auch ungleich Null sein, sonst kann es ein Sattelpunkt sein (Sattelpunkt: f'(x)=0 ; f''(x) = 0 und f'''(x) ungleich 0)
zu e) Ja, Extremstelle => f'(x)=0, die Aussage läßt zu, dass es weitere Nullstellen geben kann (siehe d)
Vielen Dank! Du hast mir sehr geholfen und ich habe natürlich auf hilfreichste Antwort geklickt:)