Mathe Aufgabe?
Hey, ich hab eine Aufgabe an der ich komplett verzweifel vielleicht kann mir ja irgendwer helfen.
Ein Rechteck hat eine Umfangslänge von 44cm. Vergrößert man bei unveränderter Umfangslänge die Breite dieses Rechtecks um 2cm, so entsteht ein Quadrat. Finde heraus, wie lang und wie breit das ursprüngliche Rechteck ist. Um wie viel Prozent ist der Flächeninhalt des ursprünglichen Rechtecks kleiner als der des Quadrats.
2 Antworten
Um diese Aufgabe zu lösen, können wir das Problem als ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten formulieren.
Sei L die Länge und B die Breite des ursprünglichen Rechtecks. Dann haben wir:
- 2L + 2B = 44 (die Umfangsgleichung)
- B + 2 = L (die Bedingung für das entstehende Quadrat)
Um das zu lösen, können wir Gleichung 2 nach B auflösen und in Gleichung 1 einsetzen:
- B + 2 = L
- B = L - 2
- 2L + 2B = 44
- 2L + 2(L-2) = 44
- 4L - 4 = 44
- 4L = 48
- L = 12
Dann können wir die Breite des ursprünglichen Rechtecks mit Gleichung 2 finden:
B = L - 2 = 10
Also war das ursprüngliche Rechteck 12 cm lang und 10 cm breit.
Der Flächeninhalt des ursprünglichen Rechtecks ist LB = 1210 = 120 cm^2. Der Flächeninhalt des Quadrats ist (B+2)^2 = (10+2)^2 = 144 cm^2. Das Verhältnis der Flächeninhalte ist daher 120/144 = 0.8333. Das bedeutet, dass der Flächeninhalt des ursprünglichen Rechtecks um 16,67% kleiner ist als der des Quadrats.
Wir nennen die beiden Seiten des Rechtecks a und b.
Der Umfang ist 44 cm, also U = 2 a + 2 b.
Verlängert man nun eine Seite um 2 cm, erhält man ein Quadrat, dessen Umfang immernoch 44 cm ist, also
44 cm = 4 x.
Da es nämlich ein Quadrat ist, sind die vier Seiten alle gleich lang, wir bezeichnen diese Seitenlänge als x.
Durch Umformung erhalten wir x = 11 cm.
Jetzt bauen wir noch die Bedingung ein, dass wenn man die eine Seite um 2 cm verlängert, man die Seitenlängen x erhält, also
b + 2 cm = x = 11 cm => b = 9 cm.
Daraus folgt mit U = 2 a + 2 b sofort
44 cm = 2 a + 2 * 9 cm => a = 13 cm.
Die Fläche ist dann somit a * b = 117 cm².
Die Fläche des Quadrats wäre x * x = 121 cm².
Indem wir die Formel 121 cm² (1 – p) = 117 cm² nach p umstellen, also
121 cm² (1 – p) = 117 cm² |: (121 cm²)
(1 – p) = 117 / 121 |–117/121+p
1–117/121 ≈ 0,033 = 3,3 % = p,
haben wir ermittelt, dass das ursprüngliche Rechteck um ca. 3,3 % kleiner ist, als das Quadrat.
Die Gleichung B + 2 = L ist falsch. Wäre das so, würde der Umfang nicht gleichbleiben.
Außerdem ist hier nicht das Verhältnis der beiden Flächen, sondern der prozezentuale Unterschied gesucht (siehe meine Antwort). ;)