Mathe?
Es werden 6 Kugeln auf 3 Urnen verteilt. Wie viele Verteilungen gibt es
a) Wenn man die Urnen und die Kugeln unterscheidet?
b) Wenn man die Urnen nicht unterscheidet, aber die Kugeln? Es spielt dann also keine Rolle, ob z.B. die Kugeln 1, 2 und 3 in Urne A oder B liegen.
C) Wenn man die Urnen unterscheidet, aber nicht die Kugeln? Zwei Verteilungen sind dann verschieden, wenn die Anzahl der Kugeln in mindestens einer Urne verschieden ist.
1 Antwort
a) Wenn sowohl die Urnen als auch die Kugeln unterschieden werden, gibt es \(3^6\) mögliche Verteilungen, da für jede der 6 Kugeln 3 Möglichkeiten (Urnenauswahl) vorhanden sind.
b) Wenn die Urnen nicht unterschieden werden, aber die Kugeln, verwenden wir eine Kombination mit Wiederholungen. Die Anzahl der möglichen Verteilungen ist \( \binom{6+3-1}{6} = \binom{8}{6} = 28\).
c) Wenn die Urnen unterschieden werden, aber die Kugeln nicht, ist die Anzahl der möglichen Verteilungen die Anzahl der Lösungen der Gleichung \(x_1 + x_2 + x_3 = 6\), wobei \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) die Anzahl der Kugeln in den Urnen sind. Da jede Urne mindestens eine Kugel enthalten muss, betrachten wir nur die Lösungen mit \(x_1\), \(x_2\) und \(x_3\) als positive ganze Zahlen. Dies entspricht der Anzahl der Möglichkeiten, 6 identische Objekte auf 3 Unterschiedliche Urnen zu verteilen, was \( \binom{6+3-1}{6} = \binom{8}{6} = 28\) ist.