Logarithmen mit negativer Basis
Ich hoffe Ihr könnt mir helfen.. :) Warum ist eine negative Basis für Logarithmenrechnung ungeeignet?
2 Antworten
Weil Potenzen mit negativer Basis i.A. (zumindest für irrationale Hochzahlen) nicht definiert sind. Tipp zB mal in den Taschenrechner (- 2)^1,3.
Gehen wir mal verständlich an die Frage heran. Wir haben eine Zahl x. Davon wollen wir den Logarithmus bezüglich einer bestimmten Basis ermitteln. Das heisst also, dass die Zahl "y" mit
y = log ( x ) (zur Basis a)
folgende Bedingung erfüllen muss: a hoch y = x. (das ist ein dicker Punkt, der den Logarithmus, also die Funktion bzw Operation "Logarithmus" definiert.)
Früher gab es noch keine Elektronenrechner und man hat diese Funktion verwendet um Rechnungen zu vereinfachen. In dicken Tabellenwerken wurden die Logarithmen für die jeweilige Basis mit vielen Nachkommastellen gedruckt.
a = 0 und a = 1 sind unbrauchbar, weil 0 hoch irgendwas immer Null ergibt, 1 hoch irgendwas immer 1. Für alle " x = a " wird der Logarithmus 1. (Immer bitte im Hinterkopf behalten, dass die praktische Rechnung vereinfacht werden soll!) SInd die a in der Nähe von eins, werden die Zahlen, die als Logarithmus herauskommen, immer unhandlicher, je näher a an 1 heranrückt. Das wollen wir nicht. Im Dezimalsystem bietet sich die 10 als a an, da man direkt den ganzzahligen Teil des Logarithmus bestimmen kann. Das alles wollen wir hier nicht weiter auswalzen.
Ist nun die Basis negativ, nehmen wir mal "a = - 2" passiert folgendes: ( - 2 ) hoch y = x laut Definition. Ob es eine Vereinfachung ist? -2 hoch 1 ist = -2. -2 hoch 2 = + 4 , -2 hoch 3 ist = - 8. Mich verlässt dabei das Gefühl einer Vereinfachung und ich werde unsicher. Je nach Wert des x bekomme ich ständig verschieden heraussprudelnde Vorzeichen und muss dann aufmerksam aufpassen, wenn bei Division z.B. negative Zahlen negiert werden. Das ist nicht als Vereinfachung zu sehen. Und so hat es für negative Basen, (obwohl dem mathematisch nichts entgegensteht) einfach in der Praxis keinen Wert.
Ich wünsch Ihnen viel Glück in der Mathematik. Solche Fragen sind unheimlich wichtig und zwingen zu gründlichem Nachdenken. Danke für die Frage! Solche Fragen schweben nicht nur über den Hochschulen, sondern über uns Allen. Die Wenigsten trauen sich leider, solche Fragen zu stellen. Entdecken Sie die alltäglichen, unerkannten Rätsel. Glückwunsch!
