Lösung für Differential Rechnung?

Es geht um meine Abi Zulassung, und damit ich bestehe muss ich das in Mathe noch abgeben aber ich verstehe das einfach nicht

ich muss die Aufgabe ausführlich und kommentiert abgeben bis 20 Uhr

Die Aufgabe 15, ich danke jeden der mir hilft ❤️❤️❤️❤️❤️❤️

Answer 1

[verreisterNutzer]

Teil a)

Aus dem Text der Aufgabe leitet man folgende Bedingung ab:

$\left(1\right)\ f'\left(20\right)=0$ $\left(2\right)\ f''\left(65\right)\ =\ 0$

Die Ableitungen sind:

$f'\left(x\right)=-\frac{1}{20}x^2+2bx+c$ $f''\left(x\right)=-\frac{1}{10}x+2b$

Beginnt man mit Gleichung (2), so ergibt sich:

$\left(2\right)\ -\frac{65}{10}+2b\ \to b=\frac{65}{20}$

Damit folgt für (1)

$\left(1\right)\ -\frac{1}{20}\cdot20^2+\frac{130}{20}\cdot20\ +c=0\ \to c\ =-110$

Teil b) Maximum der Funktion ist gesucht. Also weitere Nullstelle der 1. Ableitung suchen. Aus Teil a) ist bekannt, dass bei x = 20 bereits eine Nullstelle ist. Also kann man das mit einer Polynomdivision machen.

Gleichung der Nullstellensuche der 1. Ableitung äquivalent umformen:

$-\frac{1}{20}x^2+\frac{130}{20}x-110=\ 0\ \ \ |\ \cdot\left(-20\right)$ $x^2-130+2200\ =\ 0$

Polynomdivision (x = 20 ist die bekannte Nullstelle der 1. Ableitung)

$\left(x^2-130+2200\right)\ :\ \left(x-20\ \right)=x-110$

Damit ist bei x=110 ein Maximum (die Prüfung f''(110) < 0 kann hier entfallen, da die Funktion 3. Grades nur je 1 Maximum und ein Minimum haben kann und das Minimum schon bei x = 20 liegt)

Skizze: