Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit?
Wie sind die Begriffe "komplanar" und "nicht-komplanar" den Begriffen "linear abhängig" und "linear unabhöngig" zugeordnet?
Komplanare Vektoren liegen auf einer Ebene, Nicht-komplanare Vektoren logischerweise nicht. Aber was bringen die beiden anderen Begriffe zum Ausdruck?
Weißt du, was eine Linearkombination von Vektoren ist?
Ja. Das ist doch einfach z.B.
k*Vektor a + l*Vektor b + m*Vektor c = Nullvektor
Liege ich da richtig?
2 Antworten
Was du auf die Nachfrage geantwortet hast, ist ein Teil der Definition von "linear unabhängig" für 3 Vektoren. (Es fehlt noch, dass k, l und m nicht gleichzeitig 0 sein dürfen.)
Was links von "=" steht, ist eine Linearkombination.
Welche Definition von "komplanar" verwendet ihr? Das wäre hilfreich, um zu sehen, wie wir am besten weiter vorgehen.
Vermutlich hilft es weiter, wenn du dir die Punkt-Richtungs-Formen von Gerade (1-dimensional) und Ebene (2-dimensional) anschaust. Dazu noch: vermutlich werden hier nur Ebenen (und Geraden) durch den Ursprung betrachtet - oder reine Verschiebungsvektoren (im Gegensatz zu Ortsvektoren).
Hoppla, da war ich wohl etwas verwirrt - was denn sonst, da hätte ich nicht zu fragen brauchen.
Immerhin passt das dann nur auf Verschiebungsvektoren (im Gegensatz zu Ortsvektoren) (und Ortsvektoren innerhalb von Ebenen durch den Ursprung - aber da braucht man die Unterscheidung nicht).
Zwei Vektoren sind immer komplanar - schließlich kann man eine Ebene durch Aufpunkt und zwei Richtungsvektoren beschreiben. (Sie können auch zusätzlich kollinear sein - dann spannen sie aber keine Ebene mehr auf.)
Ein dritter Vektor führt dann und nur dann vom Aufpunkt zu einem Punkt der Ebene, wenn er sich als Linearkombination der Richtungsvektoren der Ebene darstellen lässt.
Eine äquivalente (und m. E. anschaulichere) Definition von "linear abhängig" ist: "Eine Menge von Vektoren (oder/und die Vektoren dieser Menge) heißt/heißen linear abhängig genau dann, wenn sich (mindestens) einer der Vektoren als Linearkombination der übrigen darstellen lässt." Damit führt ein Vektor genau dann vom Aufpunkt zu einem Punkt der Ebene, wenn er von den beiden Richtungsvektoren linear abhängig ist.
die lineare abhängigkeit ist so definiert:
Als Definition von "komlanar" habe ich gelernt, dass die Vektoren in einer Ebene liegen.