Kreuzprodukt umstellen: v= W x R , nach w umstellen?

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Sei die Gleichung:

v = w x r 

gegeben. w sei unbekannt und gesucht. Wir bilden nun auf beiden Seiten das Kreuzprodukt mit r:

r x v = r x ( w x r )

Für das doppelte Kreuzprodukt: a x (b x c)  gilt die sogenannte Graßmann Identität:

a x ( b x c ) = (a*c)*b - (a*b)*c      (bac - cab Regel)

Die Anwendung hier liefert:

r x v = (r*r)*w - (r*w)*r

wenn nun  r*w = 0  ist, w und r also orthogonal zueinander sind, so lässt sich nun die Gleichung nach w auflösen:

r x v = (r*r)*w

Umstellen würde an dieser Stelle liefern:

1/(r*r) * (r x v) =  w


Ist w nicht orthogonal zu r, so lässt sich diese Gleichung leider nicht so einfach umstellen.

Wow - danke für den Beitrag - ich hätt mir nicht gedacht das es auf diese Weise eigentlich leicht zu lösen ist! Der Clou ist aber die Orthoganilität zwischen r und omega - bur so funktioniert es dann oder? Top

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Eindeutig lösbar ist das i.A. nicht, die Lösungsmenge von


V = W x R

ist aber die Parameterschar


W = (R x V) / R²  + k * R  ;   k ∈ ℝ

wie man sich aufgrund bac-cab leicht überzeugt.

Nein, kann man nicht.

Dazu müsste eine Umkehrfunktion zum Kreuzproduktoperator definiert sein.

Gibt es aber nicht, da die Funktion des Kreuzprodukts zwar surjektiv ist aber nicht injektiv.

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