Kann mir jemand mit dieser Komponentengleichung weiterhelfen?
Es geht um die Koordinatengleichung der Ebene (mit Normalenvektor). Anscheinend muss ich schrittweise die beiden Parameter s und t eliminieren. Dafür macht man hier Gebrauch von folgendem:
A(3/0/6) | B(6/-6/-4) | C(-2/-4/4)
Daraus bildet man die Vektoren AB und AC:
AB(3/-6/-10) | AC(-5/-4/-2)
...daraus resultiert folgende Parametergleichung der Ebene:
Ich verstehe jetzt von der ganz oben stehenden Rechnung, in der man s und t schrittweise eliminieren sollte, praktisch nichts. Nur, dass man x=[...], y=[...], z=[...] alleine hinschreibt; aber danach nichts mehr.
Scheinbar kommt als Normalenvektor (durch das Eliminieren von s und t) folgendes raus: (2/-4/3). Ich verstehe aber nicht, wie man darauf kommt.
Ich entschuldige mich für die umständliche Frage. Kann mir aber jemand weiterhelfen? Danke.
1 Antwort
durch Additionsverfahren s und t eliminieren
x, y und z werden wie Zahlen behandelt. Nur die beiden Parameter s und t werden durch Umformen (multiplizieren und addieren) eliminiert
direkt aus der Parameterform erhält man folgendes LGS:
x=3+3s-5t
y=0-6s-4t
z=6-10s-2t
zweimal erste Gleichung plus zweite Gleichung ergibt:
2x+y=6-14t
3s wurde durch Multiplikation auf 6s erweitert, so dass s dann durch Addieren rausfällt.
um eine weitere Gleichung ohne s zu erhalten kann man beispielsweise die zweite mit -5 multiplizieren und die dritte mit 3 dann beide addieren (dann wurden beide 30s bzw -30s erweitert)
-5y+3z=18+14t
man hat dann folgende beide Gleichungen ohne s
2x+y=6-14t
-5y+3z=18+14t
diese kann man direkt addieren (ohne vorher passend zu multiplizieren), dann fällt t raus:
2x-4y+3z=24
das ist die Koordinatenform der Ebenengleichung
den Normalenvektor kann man direkt ablesen (Zahlen vor x,y und z):
Vektor n = (2 -4 3)
alternativ kann der Normalenvektor auch als Vektorprodukt der beiden Richtungsvektoren berechnet werden. Das ist heutzutage eigentlich Standardmethode.
Ich komme damit auf auf den Kreuzvektor (-28/56/-42). Alle davon könnte man mit 14 dividieren, demnach wäre es (-2/4/-3), aber in der Lösung ist es ja (2/-4/3)... was mache ich falsch? :(
du kannst dann noch durch -1 kürzen, dann sind beide gleich
das Vektorprodukt hast du also richtig ausgerechnet
den Normalenvektor zu vereinfachen ist schon sinnvoll, weil man dann kleinere Zahlen hat. Man sollte aber vermeiden, dass Brüche vorkommen. Ob man in dem Fall jetzt durch 14 oder durch -14 dividiert (kürzt) ist egal.
Wenn ich den Kreuzvektor berechne, komme ich aber auf was ganz anderes... Sind (3/-6/-10) und (-5/-4/-2) denn die falschen Vektoren, um den Normalenvektor zu berechnen...?