Kann mir jemand bei Intervallschachtelungen helfen?

3 Antworten

Hallo,

die Intervallschachtelung ist ein Näherungsverfahren, mit dem Du Zahlen berechnen kannst, die Du über andere Lösungsverfahren nur sehr kompliziert oder gar nicht berechnen kannst. Näherungsverfahren bedeutet, daß Du die Lösung eben nicht direkt ausrechnen kannst, wie zum Beispiel 3+4=7, sondern daß Du Dich immer näher an die Lösung heranarbeitest.

Hier ist nun eine Zahl zwischen 2 und 3 gesucht, die, wenn man sie mit sich selbst multipliziert oder quadriert (das ist das Gleiche), eine natürliche Zahl ergibt. Diese gesuchte Zahl liegt also im Intervall zwischen 2 und 3. Es gibt drei Arten von Intervallen. Die erste ist das geschlossene Intervall. Da gehören die Grenzen zum Intervall mit dazu. Wenn das Intervall zwischen 2 und 3 ein geschlossenes wäre, wärst Du praktisch schon fertig, weil sowohl 2 als auch 3 zum Quadrat eine natürliche Zahl ergeben, nämlich 4, bzw. 9.

In der Aufgabe steht aber 2<x<3. x ist also größer als 2 und kleiner als 3.

Bei einem geschlossenen Intervall stünde da 2≤x≤3.

Bei 2<x<3 handelt es sich um ein offenes Intervall - das bedeutet, 2 und 3 gehören nicht zur Lösungsmenge.

Dann gibt es noch eine dritte Art von Intervallen, nämlich die halboffenen.

Die sehen entweder so aus: 2≤x<3, dann wäre die 2 eine erlaubte Lösung, die 3 aber nicht, oder umgekehrt: 2<x≤3, dann wäre die 3 zur Lösungsmenge gehörig.

Intervalle werden auch so dargestellt:

]2;3[ - die Klammern zeigen beide nach außen, es gilt  2<x<3.

[2;3] - die Klammern zeigen beide nach innen, es gilt 2≤x≤3.

]2;3] - die linke Klammer zeigt nach außen, die rechte nach innen, 
es gilt 2<x≤3, und schließlich

[2;3[, die linke Klammer zeigt nach innen, die rechte nach außen,
es gilt 2≤x<3.

Hier haben wir es mit dem offenen Intervall ]2;3[ zu tun.

Gesucht ist eine Zahl zwischen 2 und 3, deren Quadrat eine natürliche Zahl ergibt.

Bevor wir anfangen zu rechnen, kann ich Dir gleich sagen, daß es eine solche Zahl nicht gibt, jedenfalls nicht im Raum der reellen Zahlen. Wir können aber eine Zahl finden, deren Quadrat beliebig nah an eine natürliche Zahl herankommt.

In Deiner Aufgabe ist die erste Einschränkung - abgesehen davon, daß sich x zwischen 2 und 3 befindet - bereits gegeben:

2,6<x<2,7.

x liegt also im offenen Intervall ]2,6;2,7[.

Wenn Du nun einmal 2,6² berechnest (6,76), und einmal 2,7² (7,29), ist klar, daß es sich bei x um die Wurzel aus 7 handelt, an die man sich nun schrittweise annähert. (Natürlich kannst Du sie blitzschnell mit dem Taschenrechner bestimmen (ist allerdings auch nur ein Näherungswert); Du kannst den Logarithmus von 7 durch 2 teilen, und mit dem Ergebnis die Basis Deines Logarithmus potenzieren, was aber ohne Logarithmentafeln oder einen Rechner schwierig ist. Wenn Du also ohne Rechner und ohne andere Hilfsmittel auf einer einsamen Insel festsitzt und Du brauchst zum Überleben dringend die Wurzel aus 7, kannst Du Dir mit der Intervallschachtelung helfen, wei hierzu Kenntnisse in den Grundrechenarten und Schreibmaterial (Finger auf Sand) ausreichen.

2,6 ist zu klein, 2,7 zu groß. Probierst Du eine Zahl dazwischen: 2,75.

2,65²=7,02... Also zu groß.

Nächste: 2,64²=6,97 - zu klein, aber schon nah dran.

Das nächste Intervall, das Du untersuchst, liegt also zwischen 2,64 und 2,65.

2,64<x<2,65.

Nun nimmst Du eine weitere Zahl für x, die zwischen diesen beiden liegt, z.B. 2,645. Ist ihr Quadrat kleiner als 7, probierst Du die 2,646. Ist ihr Quadrat größer, ist das neue Intervall ]2,645;2,646[. Ist ihr Quadrat noch zu klein, wäre 2,646 Deine Untergrenze und Du würdest sehen, ob das Quadrat von 2,647 größer als 7 ist.

In diesem Fall ist lautet das neue Intervall aber ]2,645;2,646[ und Du kannst den nächsten Schritt machen. Du hängst also an die 2,645 eine neue Ziffer dran und probierst aus, was passiert. Das Ganze kannst Du weiterführen, bis Du alt und grau bist. Du wirst Dich der Wurzel von 7 immer weiter nähern - erreichen wirst Du sie nie.

Wenn Du noch Fragen hast, melde Dich ruhig.

Herzliche Grüße,

Willy

Durch eine Nacheinanderausführung von Bildungen von x² kommst du immer näher an die gesuchte Zahl heran. Meist macht man das aber eher bei Wurzeln, weil man die Quadrate doch sogar im Kopf rechnen kann, - jedenfalls bei 2. Bist du sicher, dass du nicht eine Intervallschachtelung für √2 machen sollst? Die ginge genau anders herum, als du angefangen hast.

Beispiel: Du suchst eine Zahl x, deren Quadrat 7 ist.

Da 2² = 4 < 7 und 3² = 9 > 7 ist, gilt 2 < x < 3

Da 2,6² = 6,76 < 7 und 2,7² = 7,29 > 7 gilt 2,6 < x < 2,7.

Weiter mit 2,64 und 2,65 . . .

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