Kann mir jemand bei der Mathe Aufgabe weiterhelfen?

 - (Schule, Mathematik, Abitur)

4 Antworten

Du hast was vertauscht. Die Formel ist 3x₁ + 4x₂ + 3x₃ = 12. Der Formel zur Folge ist n = (3, 4, 3) ein Normalvektor zur Ebene. Seien

  • O der Ursprung;
  • P = (4, 5, 7);
  • E ein Punkt auf der Ebene, der am nächsten zu P liegt.

Da E auf der Ebene liegt, gilt laut Ebene-Formel

1)...    OE•n = 12.

Nun ist es leicht zu zeigen, dass EP || n und darum

2)... d(P, Ebene) = |EP•n|/||n||.

Theorie beiseite, wir berechnen nun:

3)...
EP•n = (OP–OE)•n
     = (OP•n) – (OE•n)
     = (4,5,7)•(3,4,3) – 12, laut 1 und durch Einsetzen von P, n
     = 53 – 12
     = 41
4)...
||n|| = √((4)²+(3)²+(4)²) = √41

Aus 2–4 folgt

d(P, Ebene) = |41| / √41 = √41 7,031 Einheiten.

8 a) ist die Ebene E1:

Dreipunktgleichung der Ebene

E: x=a+r*(b-a)+s*(c-a)

a=s1

b=s2

c=s3

eingesetzt und ausgerechnet ergibt die Vektorielle Parametergleichung der Ebene

E: x=a+r*u+s*v

u(ux/uy/uz)

v(vx/vy/vz)

u und v sind die Richtungsvektoren der Ebene,aus denen man den Normalenvekor

berechnen kann.

Normalengleichung der Ebene

E: (x-a)*n=0

Normalvektor no=1 ist 1=Wurzel(nox²+noy²+noz²)

Betrag von (n)=Wurzel(nx²+ny²+nz²)

nox=nx/(n)

noy=ny/(n)

noz=nz/(n)

ergibt die Hesse´sche Normalform der Ebene

E: (x-a)*no=0

Daraus ergibt sich die Abstandsformel von Punkt P(x/y/z) und der Ebene

x=P

Abstand des Punktes von der Ebene

d=d(p,E)=Betrag((p-a)*no)

Mit dem Lotfußpunktverfahren,geht eine Gerade durch den Punkt P(x/y/z) und der Ebene.

Geradengleichung x=a+r*n

n(nx/ny/nz) ist der Normalenvektor der Ebene

P=a+r*(nx/ny/nz) mit r=1

x-Richtung ax=px-1*nx

y-Richtung ay=py-1*ny

z-Richtung az=pz-1*nz

Der Fußpunkt (Schnittpunkt mit der Ebene) ist a(ax/ay/az)

Abstand von 2 Punkte im Raum

d=Wurzel(x2-x1)²+y2-y1)²+(z2-z1)²

Also gibt es 2 Möglichkeiten,den Abstand des Punktes von der Ebene zu bestimmen

1) Mit der Punkt Abstandsformel d=d(P,E)=Betrag((p-a)*no)

2) Mit dem Lotfußpunktverfahren,wo eine Gerade x=a+r*(nx/ny/nz)

durch den Punkt P(x/y/z) geht und die Ebene im Punkt a(ax/ay/az) schneidet

Abstand ist dann d=Wurzel((x-ax)²+(y-ay)²+(z-az)²)

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert

Schreib mal deutlich

Wie sind den die koordinaten vom Punkt P(x/y/z)

x1=x

x2=y

x3=z

x1=s1 S1(x/0/0)

x2=s2 S2(0/y/0)

x3=s3 S3(0/0/z)

Woher ich das weiß:Studium / Ausbildung – hab Maschinenbau an einer Fachhochschule studiert

Deine Ebene ist wahrscheinlich nicht "4x1+3x3+4x3=12". Da wird wohl eher "x2" drin vorkommen, oder?

Wenn du nicht mehr deines Lösungsweges zeigst, wirkt die Frage auf mich, als wolltest du das Forum dazu bringen, deine Hausaufgaben zu erledigen.

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