Kann man "Evidenz" als Synonym für "Beweis" nehmen?

Das hängt ein wenig vom Betrachtungswinkel ab. Im mathematischen Sinne ist "evident" = "augenscheinlich" ganz sicher kein Äquivalent zu "bewiesen" - siehe die bekannten Paradoxa. Im sprachlichen Sinne müssen Begriffe keineswegs in allen Aspekten gleichbedeutend sein, um als Synonyme zu gelten.

Im Alltag ist der "Augenscheinsbeweis" ein völlig hinreichender Beweis - hier ist Evidenz ein Unterbegriff von Beweis und insofern synonym.

In einigen Richtungen der Philosophie benötigt eine Tatsache, die "evident" ist, keinen Beweis (und kann deshalb auch nicht "bewiesen" werden): vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Evidenz

"Evidenz" und "Beweis" sind in diesem Kontext insofern Synonyme, als beide eine unwiderlegbare Begründung einer Aussage sind.

In der Mathematik und der Physik begegne ich dem Begriff "Evidenz" ziemlich selten - üblicherweise implizit in Formulierungen wie "ohne Beschränkung der Allgemeinheit" und "aus Symmetriegründen". Hier habe ich den Eindruck, dass sich die Autoren selten die Mühe machen, einen formal korrekten Beweis durchzuführen, sondern davon ausgehen, dass ein solcher Beweis ohne allzu viel Mühe durchgeführt werden können sollte und eine Widerlegung äußerst überraschend wäre. (Ein leicht anders gelagerter Fall ist die Formulierung "wie man leicht sieht", die bösen Zungen zufolge nur dort verwendet werden darf, wo sie nicht stimmt.)

Immerhin habe ich bisher in den Fällen, in denen ich einen Beweis und/oder eine Widerlegung versucht habe, nie eine Widerlegung und sehr oft einen Beweis gefunden. Das ist natürlich kein mathematisch stringenter Beweis, dass es immer so sein wird, aber es reicht aus für "Synonym" im sprachlichen Sinne.

Zur Diskussion in der Rechtsprechung habe ich dies gefunden - hier wird auch der Begriff "statistische Evidenz" behandelt -: https://www.wiwi.uni-frankfurt.de/fileadmin/user_upload/dateien_abteilungen/abt_fin/Dokumente/PDFs/Allgemeine_Dokumente/Inderst_Downloads/Neuere_Arbeiten_seit2015/Zur_Interpretation_empirischer_Evidenz_vor_Gericht_Boenisch_Inderst.pdf

Nein. Es beutet eher "Beleg". Evidenz für eine Annahme oder eine Theorie besteht, wenn es beobachtbare oder messbare Daten gibt, die die Annahme belegen.

Beweise im wissenschaftlichen Kontext gibt es nur in der Mathematik und in der Philosophie.

Eher für "Beweiskraft".

(Echte) Beweise haben natürlich auch Beweiskraft, doch es ist nicht dasselbe.