Guten Tag,
zur Mathematik-Vorlesungsnachbereitung habe ich eine Frage. Es geht um Häufungspunkte von Folgen und Reihen im Rahmen von der Untersuchung von Grenzwerten etc.
Folgende Zusammenfassung habe ich mir selbst geschrieben, die noch sehr schwammig formuliert sein kann und evtl. Fehler aufweist:
"– Häufungspunkte (HP) –
Sei eine Folge an gegeben. Wenn ab einem bestimmten Punkt auf der Zahlengeraden sich die Zahlenwerte der Folgenglieder anhäufen, wobei gilt, dass im Intervall einer Folge: (1-Epsilon. 1+Epsilon) plötzlich alle ab einem gewissen Folgenglied an alle folgenden Folgeglieder in diesem Intervall liegen, so hat die Folge an hier einen Häufungspunkt. Das Intervall kann hierbei beliebig klein werden. Dann wird irgendwann ein N Element n erreicht sein, sodass alle Folgeglieder im Intervall liegen werden. Erinnern wir uns an diese eine Eigenschaft in Verbindung zu dem Satz von Eudoxos und dem archimedischen Axiom: Epsilon>0 -> n>= 1+ Floorfunktion(1/Epsilon) Element der natürlichen Zahlen im Intervall. Hierbei erkennt man, dass wenn Epsilon kleiner wird, n zwingend größer werden muss!"
Im Vorlesungsskript sind HP folgend definiert: "Ist an Teilmenge von IR eine Folge, so heißt a Element IR Häufungspunkt von an, falls es eine Teilfolge von an gibt, die a als Grenzwert besitzt ".
Müssen wir jede Folge also beim Untersuchen in Teilfolgen splitten, um zu jeder Teilfolge von an ein individuelles a zu finden?
Leider kann ich hier keine mathematische Schreibweise adäquat verwenden.
Hierbei schon eine kleine Frage: Gilt diese mathematische Beschreibung "Epsilon>0 -> n>= 1+ Floorfunktion(1/Epsilon) Element der natürlichen Zahlen im Intervall" nur für Nullfollgen?
Nun ist die Frage, wie bestimmt man durch vollständigen Beweis die Häufungspunkte?
Hierbei ist es auch spannend, da nun bisher folgende Sachen durchgenommen worden sind:
- Häufungspunkt
- Grenzwert
- Cauchy-Folge
- Beschränktheit (Supremum, Infimum, ...)
Kann ich diese verschiedenen Definitionen als jene vielfältige Möglichkeiten verstehen, die es uns ermöglichen, Rückschlüsse auf Konvergenz/Divergenz zu ziehen? Alles führt ja in etwa auf das selbe hinaus, wenn auch manchmal nicht hinreichend genug.
Es handelt sich hierbei nicht um eine Diff/AGLA Vorlesung eines reinen Mathematikstudiums, eventuell unterscheidet sich hierbei die Detailtiefe. Es geht um das Physikstudium deren Mathematiktiefe.
