Irrationalität einer Zahl (Logarithmus)?
Guten Tag,
ich habe eine Frage, wie ist es möglich sicher zu stellen dass eine zahl irrational sei?
Ist log2 3 eine irrationale Zahl? Falls ja warum ?, falls nicht warum?
Danke !!!
2 Antworten
wie ist es möglich sicher zu stellen dass eine zahl irrational sei?
Indem man dies beweist. So ein Beweis kann aber, je nachdem, um welche Zahl es sich konkret handelt, recht unterschiedlich aussehen. Die Idee ist meist aber ein Widerspruchsbeweis, bei dem man zunächst annimmt, die Zahl wäre rational und dies dann zum Widerspruch führt.
==========
Hi Roman,
ja, log23 ist irrational.
Die Erklärung (warum) ist etwas schwerer.
Ich versuche es auf einem aus meiner Sicht einfachen Wege zu begründen.
Laut Definition des Logarithmus haben wir:
log23 = x <=> 2x = 3
wenn man diese Gleichung wiederum mit Logarithmen löst:
2x = 3 | ln (hier können wir egal welche Basis nehmen (2er Basis, 10er Basis oder Natur Logarithmus als Basis - was ich gemacht habe)
x * ln 2 = ln 3 <=> x = ln 3 / ln 2
Es ist klar daß jeder Logarithmus aus einer natürlichen Zahl in Basis - e eine Irrationale Zahl ist.
Demnach ist auch der Quotient dieser Logarithmen in der Regel irrational. Ausnahme gibt es nur dann wenn 3 eine Potenz von 2 wäre, was aber nicht der Fall ist.
Im Gegenteil:
log2 4 ist nicht irrational, denn :
2x = 4 <=> 2x = 2² und x =2, hier ist eben 4 eine Potenz von 2.
Ich hoffe ich habe es "verträglich" erklärt?
LG,
Heni
ln hat die Basis e und das ist eine Irrationalle (transzendente Zahl), es ist die berühmteste Basis einen Logatithmus. Habt Ihr das noch nicht gelernt? Es geht genauso für die Basis 10, mit der von Mihisu erwähnten Ausnahme er ist wahrscheinlich Prof oder Dr. der Mathematik, denn seine Aussagen sind immer sehr genau)! Mathematik habe ich allerdings auch studiert.
Nö, kein Prof. oder Dr. Ich bin auch "nur" Student. (Mathematik/Physik, Lehramt an Gymnasien in Bayern)
Ich versuche immer recht ausführlich zu sein. Aber manchmal ist das leider gar nicht so gut, wenn man dadurch jemanden mehr verwirrt und durch Kleinigkeiten den Blick auf das Wesentliche versperrt.
Na ja, ich bin schon 60, also Lehrer der alten Schule. Aber ich fand Deine Antworten bisher immer sehr präzise.
Stimmt leider.:den Laien und eben die Schüler könnte es verwirren, denn Theorie haben die heute nicht mehr drauf.
Aber mach nur weiter so, denn es gibt auch Fragesteller die ein wenig den Durchblick haben.
LG, Heni
Ich sehen nicht, warum das klar sein sollte. Naja, ok man könnte schon einigermaßen schnell sehen, dass man sonst einen Widerspruch zur Transzendenz von e bekommen würde, und die Irrationalität von ln(k) für natürliche Zahlen k > 2 somit auf die Transzendenz von e zurückführen kann.
Aber deine Aussage stimmt so genau genommen nicht. Denn ein Gegenbeispiel gibt es: ln(1)