Ich kann mir leider nicht erklären, wie man hier auf die Anzahl der 10er und 100er kommt (Fakultät)?
3 Antworten
Das ist einfach ein sehr grobes (!!!) Mittel zum Abschätzen.
446!
bedeutet ja nichts anderes, als dass man die Zahlen 1 bis 446 miteinander multipliziert.
Also
446! = 1 * 2 * 3 * ... * 9 * 10 * 11 * 12 * ... * 100 * 101 * 102 * ... * 200 * 202 * 203 * ... * 446
Das wird aber natürlich keiner mal eben im Kopf berechnen können, selbst viele Computer fahren fest! Also behilft man sich mit dem Wissen, dass bei einem Faktor 10^n einfach n Nullen zum Produkt hinzugefügt werden.
So weiß ich aus dem Stehgreif, dass 10^20 eine 1 mit 20 Nullen sein wird, ohne dass ich darüber nachdenken oder gar rechnen muss.
Genauso verfährt man hier. Man hat zuerst 9!, danach ersetzt man alle zweistelligen Zahlen mit 10 (10^1), alle dreistelligen Zahlen mit 100 (10^2), alle vierstelligen Zahlen mit 1000 (10^4) usw.
Das ist kein Hexenwerk und nicht mal besonders genau! Zum Beispiel könntest du auf diese Art abschätzen, dass 50! = 9! * 10^(50 - 9) = 9! * 10^41 ist.
9! kann man noch im Kopf berechnen:
9! = 1*2*3=6*4=24*5=120*6=720*7=5040*8=40320*9=362880
Dann noch 41 Nullen hinten dran, macht daraus:
50! ~ 3,6288 * 10^47
Und was sagt dein Taschenrechner dazu?
3,0414093 * 10^64
Wie du siehst kommt es nicht mal nah dran, weil ganze 17 Stellen (!!!!) fehlen.
Sie ersetzen einfachen jeden Faktor, der grösser/gleich 10 ist durch den Faktor 10. Und sie ersetzen jeden Faktor, der grösser oder gleich 100 ist durch 100. Und sie zählen nach wie oft solch eine Ersetzung durchgeführt wurde. So kommen sie auf die Anzahlen.
Natürlich sind solche Produkte keine Fakultäten mehr. Es geht ja auch nur darum abzuschätzen wie gross die gesuchte Fakultät mindestens ist.
Es ist in den Wissenschaften eine gute Methoden bei Unkenntnis eines korrekten Wertes zunächst einmal nur ein Abschätzung darüber zu liefern in welchem Bereich sie denn liegen könnte.
Es ist nur eine sehr grobe Abschätzung.
Wenn der engagierte Student nachzählt, wird er 90 mal die 10 wählen wollen (10 .. 99) und 347 mal die 100 (100 .. 446). Da wurde wohl eine Zehn den Hundertern zugeschlagen.
Was aber wohl egal ist, der wahre Wert ist laut WolframAlpha größer als 4,2 * 10^989