Ich fahre mit dem Auto immer zwischen 5- und 6-tausend Umdrehungen, aber ist es schädlich, wenn ich zb. unter 2-tausend Umdrehungen fahre?

Auf diese Weise wie du es aktuell tust, wirst du sehr schnell deinen Motor killen. Er wird dir zwar nicht zerspringen, wenn du ihn 5000 bis 6000 1/min fährst, aber du solltest dich drauf gefasst machen, dass die Lebenserwartung deines Motors locker von 200.000 km auf unter 100.000 sinken wird. 
(Bemerkbar wird sich das irgendwann durch ein Rasseln, oder Klopfen und unruhigen Lauf machen, dann sind nämlich deine Lagerschalen durch).

Es ist tatsächlich überaus sinnvoll (und auch absolut normal) einen Motor bei 2000 1/min und weniger bei konstanter Fahrt zu haben. In der Kaltlaufphase sollte man besonders auf gemäßigte Drehzahlen achten, da das Motoröl noch nicht die nötige Temperatur hat, und deswegen auch noch nicht die richtige Viskosität (Fließfähigkeit) hat. Das wirkt sich dann extrem verschleißend auf den Motor aus.

PS: Darf ich an dieser Stelle mal interessenshalber nachfragen, was für ein Auto, Motorisierung (PS) und Spritverbrauch du hast?

Du machst doch (fast) alles richtig. Nicht umsonst gibt es das weltbekannte und in 196 Sprachen übersetzte Sprichwort: "Ist der Motor kalt, gib ihm sechseinhalb". Da hättest du sogar noch etwas Optimierungspotential.

Bei warmen Zustand würde ich übrigens tunlichst davon absehen unter 95% Max.-Drehzahl zu fahren. Das können die meisten Motoren gar nicht ab.

Ich hoffe mal das ist ein Scherz.

Bei den heutigen Autos kannst du so tieftourig fahren bis du ein Rattern des Motors hörst.

Wenn du dir die Arbeitsschritte eines Motors mal ansieht, siehst du auch, wieso tieftouriger besser ist.

Mit meinem Benziner fahr ich meistens um die 1.5 bis 2 Tausend

Super - 5-6000.

Warum nicht gleich den Motor hochjagen? - Gerade im kalten Zustand killst du damit früher oder später jeden Motor!

Frühzeitiges schalten hat man dir in der Fahrschule nicht beigebracht und den Umweltbogen hast Du nicht ausgefüllt?

5000? - fährst du im 2. Gang mit 60 auf der Hauptstrsse? - Denkst du, die Leute sehen dir wegen deinem hüschen Auto nach und nicken? - Das ist nicht nicken, das ist kopfschütteln!

Nein, ist es nicht. Untertourig fahren spart Benzin ^^