Höhe im Tetraeder + Herleitung?

3 Antworten

gib mal bei goggle "tetraeder höhe" ein und dann 1. anklicken; MP-Forum Herleitung; ist gut erklärt.

Die Höhe h eines regulären Tetraeders (also eines solchen, der aus vier gleichseitigen, einander kongruenten Dreiecken der Seitenlänge a besteht, ist:

h = ( a / 3 ) * Wurzel ( 6 )

Warum?

Nun, die Höhe h ist die Entfernung der Tetraederspitze vom Fußpunkt F der Höhe. Der Fußpunkt F der Höhe wiederum ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten des Grundflächendreiecks.

Da bei einem Tetrader das Grundflächendreieck gleichseitig ist, ist die Mittelsenkrechte jeder Dreiecksseite gleichzeitig Winkelhalbierende des gegenüberliegenden Winkels, woraus insbesondere folgt, dass die Mittelsenkrechte jeder Dreiecksseite durch die gegenüberliegende Ecke verläuft. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten teilt alle Mittelsenkrechten im Verhältnis 2 : 1 (von der jeweiligen Ecke aus gesehen) Weiterhin gilt, dass die Mittelsenkrechten alle gleich lang sind, sodass es genügt, eine davon zu betrachten.

Jede Mittelsenkrechte steht senkrecht auf der Mitte einer Seite des Grundflächendreiecks. Sie teilt diese also in zwei gleichlange Hälften. Die Länge einer Mittelsenkrechten m kann daher nach Pythagoras so berechnet werden (Skizze!):

m ² + ( a / 2 ) ² = a ²

<=> m ² = a ² - a ² / 4 = ( 3 / 4 ) a ²

<=> m = Wurzel ( ( 3 / 4 ) * a ² ) = ( a / 2 ) * Wurzel ( 3 )

Die Entfernung b des Fußpunktes F von der von der Mittelsenkrechten durchlaufenen Ecke beträgt wegen der oben beschriebenen Teilungseigenschaft des Schnittpunktes der Mittelsenkrechten 2 / 3 der Länge m, also

b = ( 2 / 3 ) * m = ( 2 / 3 ) * ( a / 2 ) * Wurzel ( 3 ) = ( a / 3 ) * Wurzel ( 3 )

Die Höhe h ist nun Kathete eines weiteren rechtwinkligen Dreiecks, dessen andere Kathete die Strecke zwischen einer Ecke des Dreiecks und dem Fußpunkt F ist, also die soeben berechnete Länge b hat, und dessen Hypotenuse eine der Seitenkanten des Tetraeders ist, die ja alle die Länge a haben. Folglich gilt nach Pythagoras:

h ² + b ² = a ²

<=> h ² = a ² - b ² = a ² - [ ( a / 3 ) * Wurzel ( 3 ) ] ²

= a ² - ( a ² / 9 ) * 3

= a ² - a ² / 3

= 2 a ² / 3

<=> h = Wurzel ( 2 a ² / 3 ) = Wurzel ( 6 a ² / 9 )

= ( a / 3 ) * Wurzel ( 6 )

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