kann mir jemand die Herleitung des Newtonschen Gravitationsgesetze erklären?
Hey,
kann mir jemand die Herleitung des Newtonschen Gravitationsgesetze erklären?
2 Antworten
Das Newtonsche Gravitationsgesetz ist eines der wichtigsten Gesetze in der Physik. Dieses Gesetz besagt, dass jeder Massenpunkt auf jeden anderen Massenpunkt mit einer anziehenden Gravitationskraft wirkt. Die Kraft wirkt entlang der Verbindungslinie beider Massenpunkte. Die Gravitationskraft ist dabei proportional zum Produkt beider Massen und umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstandes beider Massen.
Nachfolgend leiten wir das Newtonsche Gravitationsgesetz her und betrachten, welche Bedeutung das Newtonsche Gravitationsgesetz hat,
Herleitung des Newtonschen Gravitationsgesetzes:
Wie bereits bei den Beweisen zur Gültigkeit der Keplerschen Gesetze, verwenden wir die Zentripetalkraft als Grundlage (stabile Kreisbahn)
Zentripetalkraft
Für die Bahngeschwindigkeit auf einer Kreisbahn gilt:
Bahngeschwindigkeit
Eingesetzt erhalten wir also:
Herleitung Gravitationsgesetz
Durch das 3. Keplersche Gesetz wissen wir: T² : r³ = Konstante (bezeichnen wir sie mit “C”) => T² = C · r³
Wiederrum eingesetzt erhalten wir folgende Gleichung:
Herleitung Newtonsches Gravitationsgesetz
Gekürtzt erhalten wir also folgende Gleichung
Herleitung Newtonsches Gravitationsgesetz
Nun haben wir die Formel für die Zentripetalkraft bestimmt. Diese Kraft entspricht betragsmäßig der Gravitationskraft. Nun berechnen wir die Gravitationskraft am Beispiel Erde-Sonne.
Im ersten Schritt setzen wir für die Masse m, die Masse der Erde me ein.
Im zweiten Schritt erweitern wir Zähler und Nenner mit der Masse der Sonne ms
Im dritten Schritt fassen wir “alle Konstanten” zu einer neuen Konstante G zusammen (G = Gravitationskonstante)
Damit erhalten wir das Newtonsche Gravitationsgesetz:
Herleitung des Newtonschen Gravitationsgesetzes
Das allgemeine Newtonsche Gravitationsgesetz:
Gravitationsgesetz
F = (Gravitations) Kraft zwischen zwei Massen [ N ]
G = Gravitationskonstante [m3 kg-1 s-2 ]
m1 = Masse des ersten Massepunktes [ kg ]
m2 = Masse des zweiten Massepunktes [ kg ]
r = Abstand zwischen den Massepunkten [ m ]
Die Bedeutung des Newtonschen Gravitationsgesetzes
Wie wir gelernt haben, besagt das Newtonsche Gravitationsgesetz, dass zwei Massen (die sich Abstand r zueinander befinden), sich gegenseitig mit einer Gravitationskraft F anziehen. Mit Hilfe des Newtonschen Gesetzes kann man also die Gravitationskraft zwischen zwei Körpern wirken,
Allerdings kann man mit Hilfe des Newtonschen Gravitationsgesetzes auch die Masse der Erde bestimmen. Dazu nehmen wir die Erde mit der Masse m(e) und einen Apfel mit der Masse m(ap)
Gemäß den physikalischen Gesetzen zieht die Erde den Körper (Apfel) mit der Gravitationskraft F an. Allgemein ist aber auch eine Kraft definiert als Masse multipliziert mit der Beschleunigung (F = m·a). Die Beschleunigung lässt sich relativ einfach ermitteln (freier Fall, man lässt den Apfel zu Boden fallen und ermittelt Zeit und Strecke). Daraus ermittelt sich die (Gravitations)beschleunigung auf der Erde mit a bzw. g = 9,81 m/s² .
Gravitation
Setzen wird die bekannten Werte ein:
Gravitationskonstante G = 6,6742 · 10-11 m³/kg*s²
Erdbeschlunigung a = 9,81 m/s²
Erdradius r = ca. 6.370 km (Abstand zum Massenmittelpunkt)
Erhält man für die Masse der Erde ungefähr = 5,96 · 1024 kg
Hinweis: Diese Bestimmung der Erdemasse ist natürlich stark vereinfacht, so ist die Erde keine Kugel (abweichender Erdradius je nach Ort). Für eine grobe Abschätzung der Erdmasse ist das Newtonsche Gravitationsgesetz aber vollkommen ausreichend.
Die Herleitung aus der Zentripetalkraft und den Keplerschen Gesetzen findest du hier
Die Keplerschen Gesetze selbst sind meines wissens größtenteils empirische Formeln, die Kepler aufgrund der Bewegung der Planeten aufgestellt hat.