Höhe des Kegels bei dem Kegelvolumen minimal wird?
Moin liebe Leute, ich stehe leider komplett auf dem Schlauch bei der Bearbeitung folgender Frage: ( siehe Bild ). Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen so dass dies verstehe. Mit freundlichen Grüßen
1 Antwort
Hallo,
Du siehst oben eine Skizze. Sie stellt den Querschnitt des Kegels mit der einbeschriebenen Kugel dar.
Die Formel für das Volumen eines Kegels lautet (1/3)pi*r²*h.
Dieses Volumen soll minimal werden. Die Nebenbedingung ist, daß dem Kegel eine Kugel mit Radius 1 einbeschrieben ist.
Die Zielfunktion, deren Minimum gesucht wird, sollte eine Funktion sein, die nur noch von einer Größe abhängig ist.
Wenn Du die Skizze betrachtest, stellst Du fest, daß es drei unbekannte Größen gibt, nämlich den Radius r des gesuchten Kegels, dessen Höhe 1+y und dessen Seitenlinie r+x. Zur Lösung der Aufgabe mußt Du die Beziehungen zwischen r, x und y herausfinden.
Wichtig ist dabei das Viereck ADMF. Da die gegenüberliegenden Winkel ADM und AFM rechtwinklig und damit gleich groß sind, handelt es sich um ein Drachenviereck, bei dem die Strecken AF und AD gleich sind, nämlich r.
Außerdem sind die Dreiecke AFC und MDC ähnlich, denn sie haben den Winkel ACF gemeinsam und dazu je einen rechten Winkel. Damit müssen sie auch im dritten Winkel übereinstimmen. Ähnlichkeit von Dreiecken bedeutet gleiche Seitenverhältnisse entsprechender Seiten. Diese Tatsache und der Satz des Pythagoras helfen nun, die gesuchten Beziehungen zwischen r, x und y zu finden.
Wegen der Ähnlichkeit der beiden Dreiecke gilt: x/1=(y+1)/r, denn sie stellen den Tangens des gleichen Winkels dar (Gegenkathete durch Ankathete).
x=(y+1)/r, also r=(y+1)/x.
r kann also durch den Ausdruck (y+1)/x ersetzt werden, so daß eine Unbekannte schon mal weg ist.
Nun müssen wir noch eine Beziehung zwischen x und y finden.
Da hilft der Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck DMC.
Es gilt wegen des rechten Winkels MDC:
x²+1²=y², also x²=y²-1 und x=Wurzel (y²-1).
Wenn r=(y+1)/x und x=Wurzel (y²-1), dann r=(y+1)/Wurzel (y²-1) und
r²=(y+1)²/(y²-1)=(y+1)/(y-1), wenn man den Nenner nach der dritten binomischen Formel umwandelt und (y+1) kürzt.
Da die Höhe des Kegels gleich y+1, kann das Volumen nun nach der Formel
(1/3)pi*r²*(y+1) dargestellt werden und nach Ersetzung von r² durch (y+1)/(y-1)
als f(r)=(1/3)pi*(y+1)²/(y-1).
Das ist die Zielfunktion, die nur noch von y abhängig ist. Um sie zu minimieren, bildet man die Ableitung f'(y) und setzt sie gleich Null.
Da (1/3)pi eine von y unabhängige Konstante ist, spielt sie für das Finden des Minimums keine Rolle und kann weggelassen werden, so daß wir die Ableitung von
(y+1)²/(y-1) nach der Quotientenregel bilden.
u=(y+1)², u'=2*(y+1), v=y-1, v'=1.
u'v-uv'=2(y+1)*(y-1)-(y+1)². Eigentlich wird das noch durch v², also durch (y-1)² geteilt, aber da wir nur die Nullstelle suchen, die die Nullstelle des Zählers ist, können wir den Nenner ignorieren, wobei wir nur beachten, daß y=±1 nicht als Lösung in Frage kommt, da ((±)1²-1)=0 und wir nicht durch Null teilen dürfen.
Das vorausgesetzt, setzen wir nur noch den Zähler gleich Null:
2(y+1)*(y-1)=(y+1)²
Da (y+1)*(y-1)=y²-1 nach der dritten binomischen Formel, gilt:
2y²-2=y²+2y+1.
Alles nach links:
y²-2y-3=0
Nun die linke Seite faktorisiert und Satz vom Nullprodukt angewendet (alternativ pq-Formel mit p=-2 und q=-3):
(y+1)*(y-3)=0.
y=-1 (kommt nicht in Frage, da negativ und auch (-1)²-1=0, was bei der Ableitung zur Division durch Null führte.
Bleibt y=3.
Da r=(y+1)/Wurzel (y²-1) und y=3, gilt r=4/Wurzel (8)=4/(2*Wurzel (2))=2/Wurzel (2)=Wurzel (2).
h=y+1=3+1=4.
Ein Kegel mit h=4 und r=Wurzel (2) hat demnach unter der Bedingung, daß ihm eine Kugel mit Radius 1 einbeschrieben ist, das minimale Volumen.
Für einen Schüler finde ich diese Aufgabe recht anspruchsvoll, sieht mir doch eher nach Uni aus.
Herzliche Grüße,
Willy
