Hilfe kann die Aufgabe nicht weiter lösen?

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3 Antworten

Also man testet das gemischt Blut von 10 Personen und wenn man den Erreger nicht findet hat sich diese Gruppe mit Einem Test (x=1) erledigt. Findet man den Erreger muss zusätzlich zum mischtest jedes Mitglied einzeln getestet werden also 11 Tests (x=1). 

Die Wahrscheinlichkeit dass jemand gesund ist, ist 99,9%. Die Wahrscheinlichkeit, dass alle 10 gesund sind, ist 99,9*99,9*99,9 usw. 99,9^10=99%. Der Wert ist etwas größer als 99% (99,0045%). Das ist P(x=1), denn wenn alle gesund ist braucht man nur einen Test. Die Wahrscheinlichkeit dass jemand krank ist und man 11 Tests benötigt ist also 100-p(x=1) = 1%. 

Der ewartungswert ist (99*1+1*10)/100 = 109/100=1,09. weil von hundert versuchen, 99 mal x=1 ist und 1 mal x=10, also ist der Durchschnitt 1,09. 

 Man benötigt im Schnitt 1,09 Test um 10 Personen zu testen. Mit der normalen Methode bräuchte man 10 Tests für 10 Personen. Man spart 8,91 Test für 10 Personen also spart man 0,891 Tests pro Person.

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Hallo !


Ich habe im Internet recherchiert, die Ergebnisse stammen also nicht von mir.

Auf dieser Webseite habe ich scheinbar eine Kopie der Originalarbeit von Robert Dorfman gefunden -->

http://www.sis.uta.fi/tilasto/liski-arkisto/mtt-perusteet10/mttp-kurssi10/Materiaalia/Dorfman-Ann1943.pdf

Laut Robert Dorfman ist die erwartete Anzahl an chemischen Analysen die benötigt werden gegeben durch -->

X = N / k + N * p

Diese Formel lässt sich schön leicht merken ;-))

In deiner Aufgabe wäre das also -->

100 / 10 + 100 * 0.001 = 10,1

Also sind im Mittel 10,1 Tests für die Gesamtgruppe nötig.

Die Ersparnis an Tests (chemischen Analysen) beträgt also 100 - 10,1 = 89,9 Test

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Man kann im Internet noch mehr finden -->

https://goo.gl/CgXLKn

https://goo.gl/sdg5zc

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Kommentar von Fuloli
24.09.2016, 11:25

Ich glaube du meinst p' und nicht p oder? p' ist die Wahrscheinlichkeit dass jemand in der ganzen Gruppe krank ist. p dass ein einzelner krank ist. Dass in der ganzen Gruppe jemand krank ist , is fast 10 mal wahrscheinlicher. Nämlich 1% oder 0,01

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Ich möchte an Aufgabe (b) etwas anders herankommen. Ich komme auf ein anderes Ergebnis zu [Fuloli].

SCHRITT 1. Betrachte eine Gruppe von k Personen. Sei R die Zufallsvariable, gleich der Anzahl der Erkrankten von diesen k Personen. Bezeichne mit E das Ereignis:

E ::= ein Erkrankter erwischt wird bei erster Runde

Gegeben R=r ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass beim Testen einer einzigen Person ein Erkrankter erwischt wird gleich r/k. Darum gilt

ℙ[E] = 𝔼[1_E] = 𝔼[𝔼[1_E|R]] = 𝔼[R/k] = 𝔼[R]/k
alternativer Rechenweg:
ℙ[E] = ∑ ℙ[R=r]·ℙ[E|R=r] = ∑ℙ[R=r]·r/k = 𝔼[R]/k

Nun ist die Verteilung von R gegeben durch R ~ Bin(k, p), wobei p=0,1%. Bei binomisch verteilten Variablen weiß man schon 𝔼[R] = k·p. Darum gilt:

ℙ[E] = k·p / k = p

Insbesondere hat man ℙ[X=1] = ℙ[~E] = 1–p = 99,9% und ℙ[X=k+1] = ℙ[E] = p = 0,1%.

SCHRITT 2. Daraus folgt (für eine jede Gruppe): es sei X=#getestete Personen, dann

𝔼[X] = ℙ[E]·𝔼[X| E] + ℙ[~E]·𝔼[X|~E]
= p·(k+1) + (1–p)·1
= k·p + 1.

SCHRITT 3. Für die ganze Gruppe gilt Folgendes. Seien X⁽¹⁾, X⁽²⁾, … ,X⁽ᵐ⁾ die Zufallsvariablen, die die Anzahl der getesteten pro Teilgruppe bezeichnen. Hierbei gilt m=n/k die Anzahl der Gruppen. Sei

G := Anzahl der getesteten in der Gesamtgruppe
= ∑ X⁽ⁱ⁾ Summe über i∈{1;2; … ;m}

Dann gilt

𝔼[G] = 𝔼[∑ X⁽ⁱ⁾]
= ∑ 𝔼[X⁽ⁱ⁾]
= ∑ (k·p+1)
= m·(k·p+1)
= mk·p + m
= n·p + m da m = n/k.
= 100·0,1% + 10 = 10,1 Personen.

Ansonsten wären ansonsten gleich alle n = 100 Personen ausgetestet. Man spart sich somit im Schnitt das Testen von n–(n·p+m) = n·(1–p)–m = 89,9 Personen.

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Kommentar von kreisfoermig
22.09.2016, 10:48

Falls es dich interessiert: bezeichne mit F⁽¹⁾, F⁽²⁾, …, F⁽ᵐ⁾ die Ereignisse „Fehler gemacht beim Testen“ bei Gruppen 1, 2, …, m und mit F das Ereignis „Fehler gemacht bei der Gesamtgruppe“.

Betrachte eine beliebige Gruppe i. Gegeben R=r Erkrankte, wobei 0<r≤k, begeht man einen Fehler, wenn man keinen Erkrankten bei der ersten Runde vom Testen erwischt (da man dann fälschlicherweise alle als gesund einstuft, während es r>0 Erkrankte gibt); und man begeht keinen Fehler, wenn man einen Erkrankten erwischt, da man dann die zweite Runde des Testens durchführt und jeden einzelnen überprüft (man gehe davon aus, der Test ist fehlerfrei). Darum gilt:

 ℙ[F⁽ⁱ⁾|E⁽ⁱ⁾ & R=r] = 0      
ℙ[F⁽ⁱ⁾|~E⁽ⁱ⁾ & R=r] = 1
also ℙ[F⁽ⁱ⁾|R=r] = 1·ℙ[~E⁽ⁱ⁾|R=r] = 1–p

für 0<r≤k. Außerdem gilt

    ℙ[F⁽ⁱ⁾| R=0] = 0,

da man niemals bei der Stichprobe einen Fehler macht, wenn niemand krank ist. Daraus ergibt sich:

ℙ[F⁽ⁱ⁾] = ∑ ℙ[R=r]·ℙ[F⁽ⁱ⁾|R=r]
= ∑ ℙ[R=r]·(1–p) – ℙ[R=0]·(1–p)
= (1–p)·(1-(1–p)ᵏ)
≈ 0,99452%.

Für die Gesamtgruppe gilt nun

ℙ[~F] = ℙ[~F⁽¹⁾ ⋀ ~F⁽⁰⁾ ⋀ …  ⋀ ~F⁽ᵐ⁾]
= ∏ℙ[~F⁽ⁱ⁾]
= ∏ [1 – (1–p)·(1-(1–p)ᵏ)]
= [1 – (1–p)·(1-(1–p)ᵏ)]ᵐ

da die Ergebnisse bei den Teilgruppen paarweise unabhängig sind. Darum gilt

ℙ[F] = 1 – [1 – (1–p)·(1-(1–p)ᵏ)]ᵐ
= 1 – [1 – (1–0,1%)·(1–(1–0,1%)¹⁰)]¹⁰
9,5117%.

Darum spart man zwar viel am Testen, begeht man aber dabei mit einer hohen Wahrscheinlichkeit (9,5117%) einen Fehler.

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P. S: die Berechnungen (auch für (a)+(b)) sind noch verzwickter, wenn man nicht davon ausgeht, der Test sei fehlerfrei.

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Kommentar von Fuloli
24.09.2016, 11:39

Sorry ich blicke da nicht durch, aber wenn man sich das ganz einfach überlegt: von 1000 ist im Schnitt einer krank. Diese 1000 werden in 100 Gruppen eingeteilt. Der kranke ist in einer Gruppe davon. Man benötigt 100 Tests um herauszufinden, in welcher Gruppe der kranke ist. Dann 10 weitere Tests um innerhalb der Gruppe den Kranken zu finden. Also hat man insgesamt mit 110 Tests den kranken gefunden. Ich vermute deine Rechnung geht irgendwie davon aus, dass man nur einen Test braucht, nachdem man schon  die richtige Gruppe gefunden. Dann bräuchte man nur 101 Tests.

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Kommentar von kreisfoermig
24.09.2016, 20:42

Dann haben wir eben ein Interpretationsproblem. Der Prozess ist mir jetzt nicht klar. Ich ging vom folgenden aus:

1. besuche jede der m=n/k Gruppen; wähle einen der k Leute zufällig aus und teste ihn.
1.1 falls er gesund ist, lass die Gruppe in Ruhe;
1.2 sonst test alle k gründlich.

Mir bereitete dies schon ein Unbehagen: warum testet man den Erkrankten ein zweites Mal?

Dein Verständnis des Prozesses:

1. besuche jede der m=n/k Gruppen; misse quasi die Gruppe als Ganzes;
1.1 falls die Gruppe einen Erreger hat (>0 Erkrankte vorhanden) teste nun jeden einzeln in der Gruppe;
1.2 sonst lasse die Gruppe in Ruhe.

ich sehe ein, dieser Prozess wäre sinnvoller und wäre dieshalb die richtige Interp der Aufgabe ; ) So, nach Anpassung meines Ansatzs kommt raus:

E[G] = m.((1–(1-p)^m).k + 1) = (1–(1-p)^m).n + m = (1–99,9%^10).100 + 10 = … (bin grad ohne Rechner)

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