Hilfe bei Extremalrechnung in Mathe?
Der Eckpunkt P(x| y)
des abgebildeten
achsenparallelen Rechecks liegt auf der
Parabel f(x) = 3 - x^2.
Wie muss × gewählt werden, damit die
Rechtecksfläche maximal wird?
2 Antworten
Eine Skizze wäre hilfreich. Ich gehe davon aus, dass die Grundseite des Rechtecks auf der x-Achse liegt und die y-Achse Symmetrieachse ist.
Wegen der Symmetrie reicht es aus, das halbe Rechteck im 1. Quadranten zu untersuchen.
Die Fläche des halben Rechtecks ist A = x * f(x) (Zielfunktion). Diese Fläche soll maximal werden.
Der rechte obere Punkt des Rechtecks soll auf der Parabel liegen. Daher ist die Nebenbedingung f(x) = 3 - x² zu berücksichtigen.
Die Nebenbedingung wird in die Zielfunktion eingesetzt, sodass die Fläche ausschließlich abhängig ist von x, also A(x) = x * (3 - x²).
Diese Funktion leitest Du nach x ab, setzt diese gleich Null und bestimmst das Maximum.
Fläche A(x,y) = Grundseite * Höhe
Grundseite = x
Höhe = f(x)
Extremalbedinung max A(x) = x * f(x)
Den Hochpunkt der Extremalbedingung suchen. Der ist bei x = 1.
Das Rechteck hat also die Maße
Grundseite = 1 Einheit
Höhe: f(x=1) = ....
Da die Funktion symmetrisch ist, also das Rechteck auch im negativen x Bereich sein kann ist die Grundseite doppelt so lang.
