Hat jemand eine Lösung für diese komplexe Matheaufgabe?
Wäre wichtig nice wenn jemand eine Lösung auf die folgende Matheaufgabe hätte, hab nämlich kein Plan was ich da machen muss. Jemand kann mir da aber bestimmt helfen, oder?
Ritas Farbe ist rot und Gerds Farbe ist grün. Sie beginnen ein Spiel, bei dem sie abwechselnd einen noch nicht gefärbten Punkt der Ebene in ihrer Farbe einfärben, wobei Rita beginnt.
Gewonnen hat derjenige, dem es gelingt, in ein Dreieck, dessen drei Eckpunkte die eigene Farbe tragen und bei dem kein innerer Punkt in der Farbe des Gegners gefärbt ist, einen Punkt der eigenen Farbe zu setzen.
Man entscheide, ob einer der Spieler den Gewinn erzwingen kann.
Anmerkung: Ein innerer Punkt eines Dreiecks ist ein Punkt der Dreiecksfläche, der weder auf einer Dreiecksseite liegt noch ein Eckpunkt ist.
schon wieder matheolymp ? die aktuelle ?
ja aber muss nur paar Aufgaben lösen damit ich auf dem Zeugnis ein Punkt mehr bekomme
4 Antworten
Sollte gehen.
Ich würde mir mal ein Quadrat (oder auch Rechteck) zeichnen und die Diagonalen reinzeichnen.
Ich würde annehmen dass es daher geht weil der Gegner nicht schnell genug alle 4 Dreiecke blockieren kann bevor du die 4 Punkte gezeichnet hast. Oder so :-)
Man entscheide, ob einer der Spieler den Gewinn erzwingen kann.
die lösung lautet: Ja
Wenn Du das Spiel ein paar mal gespielt hast, siehst Du vermutlich, dass Rita spätestens im vierten Zug gewinnen kann. Die Schwierigkeit der Aufgabe liegt nur darin, das sauber zu beweisen. Hier eine Beweis-Skizze:
- Nach dem ersten Zug enthält die Ebene genau einen roten Punkt R₁ und einen grünen G₁≠R₁. O.b.d.A. sei G₁=(0, 0) und R₁=(1, 0).
- Gib ein Beispiel an, wie Rita weitermachen kann. Ihre Wahl ist ja fast egal, also nimm einfach einen brauchbaren Punkt, etwa R₂=(2, 0).
- Zeige, in welchem Bereich B G₂ liegen muss, um Ritas Sieg im nächsten Zug zu vereiteln. (Tipp: B=|R₁R₂|).
- Wenn G₂∉B, gib irgendein R₃ an, mit dem Rita gewinnt. (Fallunterscheidung, oder eleganter: G₂=(x,y) ⇒ R₃=(x,½y).)
- Wenn G₂∈B, wähle irgendein brauchbares R₃, z.B. (1, 1).
- Finale: Je nach Wahl von G₃ kann Rita entweder R₁R₃ oder R₂R₃ zu einem Dreieck ohne Gerds Punkte erweitern. Suche Dir dazu auch hier wieder zwei geschickte Beispiele R₄ und R₄': Mit R₄=(0, 1) und R₄'=(2, 1) haben die Dreiecke R₁R₃R₄ und R₃R₂R₄' keine gemeinsamen inneren Punkte. Gerd kann also mit G₃ nicht beide Varianten gleichzeitig verhindern.
Wenn Du diesen Beweis mathematisch korrekt formulieren kannst, hast Du den Extrapunkt redlich verdient.
Aus meiner Sicht, nein. Erzwingen heißt, dass der Gegenspieler maximal intelligent spielt und auch theoretisch keinen Fehler macht. Und dass er auch nicht vorhaben muss, selbst zu gewinnen. Wenn der Gegenspieler also immer eine Ecke bestzt die zum Schliessen des Dreiecks führt oder zumindest seinen Farbpunkt in ein geschlossenes Dreieck setzt, kann er den Sieg verhindern. So gefühlt, da ja abwechselnd gekleckst wird. Eine mathematischen Beweis kann ich dazu nicht liefern.
Vergiss alles wieder.
Den letzten Halbsatz habe ich offenbar komplett überlesen. Mein Beweis zeigt nur, dass man nach 4 Zügen ein „privates“ Dreieck bilden kann.
Eben bin ich über den laufenden „Essener Mathematikwettbewerb“ gestolpert und habe so mein Missverständnis bemerkt.
Unabhängig davon, ob Du an diesem Wettbewerb teilnimmst, finde ich es ziemlich schäbig von Dir, die Frage zu stellen ohne dabei die Quelle anzugeben.