Hallo an alle Mathematiker?

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4 Antworten

Hallo,

die Grundfläche G der Pyramide P hat den Flächeninhalt 4*4 = 16 (G ist ein Quadrat der Seitenlänge 4 mit Mittelpunkt (0;0;0)).

Nun brauchen wir die Höhe der Pyramide P.

Die Spitze S der Pyramide liegt auf der Gerade (r; -2r; r), r ∈ ℝ. 

(r; -2r; r) sind also die Koordinaten von S.

Da die Gerade bzgl. der Grundfläche G (durch den Mittelpunkt von G und) "schräg nach oben" geht, kann die Projektion der Spitze auf die Grundfläche ausserhalb G liegen. Das ist aber egal, da uns zur Berechnung des Volumens nur die Höhe h interessiert.

Die Projektion S' des Punktes S(r; -2r; r) auf die Grundfläche G hat die Koordinaten (r; -2r; 0). Die Länge des Vektors vec(SS') ist also r.

Berechne r derart das Vol(P) = 192 :

(1/3)r * 16 = 192 <=> r = 192*3/16 = 36

Das gleiche Volumen erhält man für r = -36, wenn wir vereinbaren, dass wir nur positive Volumina zulassen.

Einsetzen von r in die Koordinaten von S ergibt dann die beiden Koordinaten der Spitze S.

Gruss

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Kommentar von eddiefox
21.09.2016, 22:38

P.S. Man schreibt besser : die Länge des Vektors vec(S'S), also die Höhe h der Pyramide  ist also h = |r|.

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Spitze Pyramide 1:

(C-A)/2 -> Mittelpunkt Grundfläche

Ebene konstruieren, die die Grundfläche einschließt:

E_G: x = (C-A)/2 + a(C-A) + b(B-A)  (zum Beispiel)

Normale bestimmen:

(C-A)X(B-A)

Damit eine Geradengleichung aufstellen, die in diese Richtung zeigt und den Mittelpunkt einschließt:

h: x = (C-A)/2 + c[(C-A)X(B-A)]

Dann den Schnittpunkt S1 von h und g berechnen.

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Schreibe das Volumen der Pyramide durch die gegebenen Größen in Abhängigkeit von r. Das ist sehr einfach, weil die Grundfläche in der xy-Ebene liegt und somit die Höhe einfach die z-Koordinate der Spitze ist. Hilft dir das weiter?

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Die zweite Pyramide könnte doch überall unter der Gerade stehen, oder nicht?

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Kommentar von HanzeeDent
21.09.2016, 18:41

Ist das Gesamtvolumen von beiden Pyramiden gemeint?

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