Grenzwert bestimmen mit Begründung?
Hallo zusammen,
folgendes problem:
ich weiß nicht wie man hier den Grenzwert bestimmt und ob er überhaupt existiert. Leider habe ich keine Ahnung von sinus,cosinus, tangens usw.. weil diese Gebiete in der Schule nicht behandelt wurden. Ich stehe also auf dem Schlauch.
Meine Gedanken und Versuche bis jetzt:
Nach meinem Wissen ist exp(x)= e^x. Also ist exp(1/x) = e^1/x. Wenn x gegen Null geht, wird exp(1/x) unendlich groß.
Nun zum cos(x). Obwohl exp(1/x) für x-->0 unendlich groß wird, kann cos(x) nie größer als 1 werden (also laut Graph sieht es zumindest so aus).
Aber wir haben noch x vor cos(x) stehen. Da sich cos(x) ständig zwischen -1 und 1 bewegt, konvergiert x * cos(x) gegen Null. Also ist der Grenzwert Null.
Ok ich muss zugeben, dass ich den Graphen x * cos(exp(1/x)) online angeschaut habe, was mir geholfen hat zu argumentieren. Dennoch müsste man das doch mathematisch zeigen und bestimmte Sätze oder Definitionen oder Umformungen benutzen, sodass man zum Endergebnis kommt (so haben wir das zumindest bis jetzt gemacht). Also Frage an euch, wie zeige ich das korrekt?
2 Antworten
Das was in dem Cosinus drin steht, kann dir egal sein, da der Cosinus beschränkt ist.
Du kannst den Faktor mit dem Cosinus mit 1 nach oben abschätzen und mit -1 nach unten abschätzen.
Damit (und dem Einschließungssatz) sollte es nun sehr einfach sein, den Grenzwert zu bestimmen :)
ich weiß nicht wie man hier den Grenzwert bestimmt und ob er überhaupt existiert. Leider habe ich keine Ahnung von sinus,cosinus, tangens usw.. weil diese Gebiete in der Schule nicht behandelt wurden. Ich stehe also auf dem Schlauch.
Das wurde bei mir noch in der 10.ten Klasse gemacht, so wie auch das differenzieren dieser Funktionen und die Grenzwertbildung für sowas...
Nach meinem Wissen ist exp(x)= e^x. Also ist exp(1/x) = e^1/x. Wenn x gegen Null geht, wird exp(1/x) unendlich groß.
Nein.
1) Es existiert für e^{1/x} kein Beidseitiger Grenzwert.
2) Nur der rechtsseitige Grenzwert von e^{1/x} für x gegen 0 geht gegen unendlich, doch der linksseitige Grenzwert von e^{1/x} für x gegen 0 geht gegen 0.
Nun zum cos(x). Obwohl exp(1/x) für x-->0 unendlich groß wird, kann cos(x) nie größer als 1 werden (also laut Graph sieht es zumindest so aus).
Aber wir haben noch x vor cos(x) stehen. Da sich cos(x) ständig zwischen -1 und 1 bewegt, konvergiert x * cos(x) gegen Null. Also ist der Grenzwert Null.
Korrekt, außer das mit exp..., doch das haben wir schon geklärt.
Ok ich muss zugeben, dass ich den Graphen x * cos(exp(1/x)) online angeschaut habe, was mir geholfen hat zu argumentieren. Dennoch müsste man das doch mathematisch zeigen und bestimmte Sätze oder Definitionen oder Umformungen benutzen, sodass man zum Endergebnis kommt (so haben wir das zumindest bis jetzt gemacht). Also Frage an euch, wie zeige ich das korrekt?
Natürlich mit den Limes.
Sollten Sie auf nicht definierte Therme wie unendlich durch unendlich stoßen, wenden Sie die Regel von de L’Hospital an (müssen Sie hier tatsächlich nicht).
Wenn Sie zeigen, dass der Limes von x für x gegen 0 0 ist, demnach der Grenzwert 0 ist, da alles mal 0 0 ist, so lange die Operation bzw. das Ergebnis der Operation definiert ist:
Alternativ:
Dieser Logik nach würde lim x -> 0 x/x = (lim x->0 x)*(lim x -> 0 1/x) = 0 gelten (der erste Faktor geht gegen 0), was offensichtlich nicht der fall ist.
Gut. Da habe ich mich wohl schlechtn ausgedrückt.
(Das mache ich schnell genauer/verbessere es schnell.)
PS
Es gibt keinen Beitseitigen Grenzwert für 1/x bei 0.
Der rechtsseitge Grenzwert dafür ist unendlich und der liksseitige ist minus unendlich, doch das ist hier zeimlich egal.
Das was da steht ergibt (meiner Meinung nach) überhaupt keinen Sinn.
Dort wurde nur aufgezeigt, dass der Therm mit den 0 multipliziert wird als Ergebnis definiert ist.
PS
Es gibt keinen Beitseitigen Grenzwert für 1/x bei 0.
Der rechtsseitge Grenzwert dafür ist unendlich und der liksseitige ist minus unendlich, doch das ist hier zeimlich egal.
Das weiß ich, das ist aber auch hier irrelevant.
Dort wurde nur aufgezeigt, dass der Therm mit den 0 multipliziert wird als Ergebnis definiert ist.
Hm okay, es sieht aber auf jeden Fall sehr unübersichtlich aus
Dieser Logik nach würde lim x -> 0 x/x = (lim x->0 x)*(lim x -> 0 1/x) = 0 gelten (der erste Faktor geht gegen 0), was offensichtlich nicht der fall ist.
Die Argumentation Funktionier NUR wenn der zweite Faktor beschränkt ist.
Das was da steht ergibt (meiner Meinung nach) überhaupt keinen Sinn.