Gibt es zwischen 1 und 2 genauso viele Zahlen wie zwischen 1 und unendlich!?

7 Antworten

f:}-1;1{->R, f(x) = tan(2 * x / pi) bildet das offene Intervall -1;1 bijektiv auf R ab, damit ist die Mächtigkeit beider Mengen gleich, es gibt in gewissem Sinne also in beiden Intervallen gleich viele Zahlen.

Wenn du die beiden offenen Intervalle (1,2) und (1,unendlich) betrachtest, kannst Du eine Abbildung angeben, die die beiden in dem Sinne genau aufeinander abbildest, dass jede Zahl aus (1,2) auf genau eine Zahl von (1,unendlich) abgebildet wird und (mit der Umkehrfunktion) jede Zahl von (1,unendlich) auf eine von (1,2) abgebildet wird. Das ist aber genau die mathematische Definition von "zwei Mengen haben die gleiche Anzahl Elemente" bzw. "es gibt gleich viele".

Auf die gleiche Weise kann man auch beweisen, dass es genauso viel natürliche Zahlen wie gerade natürliche Zahlen gibt. Anschaulich scheint das falsch zu sein. Das Problem ist dabei, dass unsere Anschauung versagt, wenn wir exakt beschreiben wollen, was gleich viel für unendliche Mengen überhaupt bedeutet. Hat man das endlich genau zu fassen bekommen, ergeben sich diese "Merkwürdigkeiten".

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Zum Beispiel erfüllt f(x) = 1 + tan(pi/2 * (x-1)) die Bedingungen aus deinem Beispiel.

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so gesehen stimmt das nicht da kommazahlen nur beim rechnen gibt. beim normalen zählen gibt es keine kommazahlen so stimmt das nicht ganz. aber wenn du es so siehst stimmt das wohl.

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wieso gibt es dezimalzahlen nur beim rechnen?!

google mal "eulersche Zahl";)

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Wie viele Nachkommastellen haben zahlen wirklich?

Hallo 🙋🏽‍♀️

ich beschäftige mich schon eine lange Zeit mit einer Theorie, nämlich die Theorie, dass es gar nicht, wie bekannt, unendlich viele Zahlen und somit auch Nachkommastellen gibt. Zuerst mag sich dies absurd anhören, schließlich werden wir seit vielen vielen Jahren belehrt, dass es, auch zwischen den einzelnen Zahlen, endlos viele weitere Zahlen gibt; 0,1 - 0,01 - 0,001 - 0,0001 - 0,00001 usw. Wir geben uns mit dieser Art von Mathematik zufrieden, da es immer komplexer wird, je mehr man sich damit beschäftigt. Doch wenn man es sich genauer überlegt, macht genau das keinen Sinn. Ich erläutere meine Theorie anhand eines Beispiels:

Angenommen man steht auf dem Dach eines 15 Meter hohen Hauses und wirft einen Stein runter. Natürlich verkleinert sich der Abstand zum Boden, je weiter der Stein in die Tiefe fällt. Irgendwann ist der Stein nur noch 10m vom Boden weg, irgendwann nur noch 5m, dann 1,5m, dann 50cm, 10cm, 1cm und dann fängt es an interessant zu werden. Wenn das stimmen sollte, was uns die Mathematik über die Jahre gelehrt hat, dürfte der Stein niemals auf dem Boden aufprallen, da immer ein Abstand zum Boden vorhanden ist. Selbst bei einem Abstand von 0,0000000000000000000000[...]01cm dürfte man nicht hören, dass der Stein auf dem Boden aufschlägt. Genau das tut er aber nach gewisser Zeit. Man hört ganz klar einen Schlag wenn der Stein auf dem Boden aufkommt. Somit beträgt der Abstand irgendwann 0m/cm/mm etc.

Meine Frage ist nun: Wie viele Nachkommastellen gibt es, bis dieser eine Zentimeter auf 0 überspringt. Es können nicht unendlich viele sein. Sonst würden wir ewig fallen, wenn wir irgendwo herunter springen, was, und ich denke an dieser Stelle gibt mir jeder Recht, keinen Sinn ergibt.

Ich bezweifle, dass mir das irgendjemand beantworten kann aber ich denke, dass es eine ganz interessante Theorie ist. :)

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