Gibt es zwischen 1 und 2 genauso viele Zahlen wie zwischen 1 und unendlich!?

7 Antworten

f:}-1;1{->R, f(x) = tan(2 * x / pi) bildet das offene Intervall -1;1 bijektiv auf R ab, damit ist die Mächtigkeit beider Mengen gleich, es gibt in gewissem Sinne also in beiden Intervallen gleich viele Zahlen.

Wenn du die beiden offenen Intervalle (1,2) und (1,unendlich) betrachtest, kannst Du eine Abbildung angeben, die die beiden in dem Sinne genau aufeinander abbildest, dass jede Zahl aus (1,2) auf genau eine Zahl von (1,unendlich) abgebildet wird und (mit der Umkehrfunktion) jede Zahl von (1,unendlich) auf eine von (1,2) abgebildet wird. Das ist aber genau die mathematische Definition von "zwei Mengen haben die gleiche Anzahl Elemente" bzw. "es gibt gleich viele".

Auf die gleiche Weise kann man auch beweisen, dass es genauso viel natürliche Zahlen wie gerade natürliche Zahlen gibt. Anschaulich scheint das falsch zu sein. Das Problem ist dabei, dass unsere Anschauung versagt, wenn wir exakt beschreiben wollen, was gleich viel für unendliche Mengen überhaupt bedeutet. Hat man das endlich genau zu fassen bekommen, ergeben sich diese "Merkwürdigkeiten".

Zum Beispiel erfüllt f(x) = 1 + tan(pi/2 * (x-1)) die Bedingungen aus deinem Beispiel.

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so gesehen stimmt das nicht da kommazahlen nur beim rechnen gibt. beim normalen zählen gibt es keine kommazahlen so stimmt das nicht ganz. aber wenn du es so siehst stimmt das wohl.

wieso gibt es dezimalzahlen nur beim rechnen?!

google mal "eulersche Zahl";)

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