Gesamt Ladung Q?

Ich habe hier gerade eine Übungsaufgabe und verstehe die Lösung nicht. Mein Ansatz wäre gewesen die Parabel zu rekonstruieren und dann zu integrieren da Q ja der Fläche unterhalb des Graphen entspricht. Aber ich versteh die Lösung die unten steht nicht, wo kommt diese 4 her??? (Die Lösungen stehen unten ganz klein)

Answer 1

[Slevi89]

Hm für a) ist die Lösung etwas umfangreich wenn auch nicht schwer.

Aber. Woher die 4 kommt kannst du dir leicht aus den Angaben herleiten.

Kubische Parabel heißt nichts anderes als eine ganzrationale Funktion dritter Ordnung. Wenn du das Integrierst bekommst du durch die höchste Potenz automatisch den Vorfaktor 1/4. Das gilt aber immer und ist zunächst von der Aufgabe unabhängig.

Du musst also einen Weg finden es für die Aufgabe nutzbar zu machen. Dazu hast du eine weitere sehr hilfreiche Information, nämlich dass diese kubische Parabel alle Nullstellen bei t = t1 hat.

Deine Funktion I(t) sieht also schonmal so aus:

$I\left(t\right)\ =\ \left(t-t_1\right)^3\cdot k$

Das k ist noch ein Faktor den du bestimmen musst, da deine Funktion I(t) ja einen zeitlichen Strom darstellt und nicht nur eine Zeit.

Aus dem Graphen weißt du aber das für

$I\left(0\right)=\ I_{0\ }\$ gilt. Also muss gelten

$I_0\ =\ \left(0-t_1\right)^3\cdot k\ =\left(-t_1\right)^3\cdot k\ \$ und somit

$k\ =\ \frac{I_0}{-t_1^3}$ Jetzt geht es ans Integral das du für I(t) bestimmen sollst.

$\int\ I\left(t\right)\ dt\ =\ \int\left(t-t_1\right)^3\cdot k\ dt\ \ =\ k\ \cdot\ \int\ \left(t-t_1\right)^3\ dt\$ in den Grenzen 0, t1

Über die Integration via Substitution erhältst du

$k\cdot\ \left[\frac{1}{4}\left(t-t_1\right)^4\right]$ Grenzen einsetzen

$k\ \cdot\ \left[\ \frac{1}{4}\left(t_1-t_1\right)^4\ -\ \left(\frac{1}{4}\left(0-t_1\right)^4\right)\right]\ =\ -\frac{1}{4}t_1^4\cdot k\$ jetzt nur noch das k einsetzen was wir oben bestimmt haben

$-\frac{1}{4}\cdot t_1^4\ \cdot\ \frac{I_0}{-t_1^3}\ =\ \frac{t_1\cdot I_0}{4}$ was genau der Lösung entspricht ;)