Gerade an Gerade spiegeln, aber wie? (Analytische Geometrie) DRINGEND!
Hallo zusammen,
es wäre sehr nett, wenn mir jemand erklären könnte, wie man eine Gerade an einer Gerade spiegelt. Ich weiß, dass man beachten muss, ob die Geraden parallel sind oder ob sie sich schneiden.
Vielleicht gibt es da draußen jemanden, der mir das Vorgehen anhand dieser Beispiele erklären könnte ;)
g: x= (1/2/3) + t(-1/1/1) h: x= (4/10/-1) + s(0/-2/2) (parallel)
g: x= (1/2/3) + t(1/1/1) h: x= (5/9/0) + s(2/2/2) (nicht parallel)
P.S falls jemand auch weiß, wie man eine Ebene an einer Ebene spiegelt, würde ich mich darüber freuen, wenn jemand die Vorgehnsweise erklären könnte und vielleicht noch Ebene/Gerade.
LG
3 Antworten
A. Geraden parallel
- Orstvektoren der Aufpunkte a von g und b von h,
- einer der (kollinearen) Richtungsvektoren u
u0 = u / |u| hat den Betrag 1.
v = (b-a) ✖ u0 steht senkrecht auf der g und h enthaltenden Ebene; wegen
| v | = | b - a | * | u0 | * sin ( b-a, u0)
ist | v | der Abstand der Geraden g und h.
w = a + 2 v ✖ u0
liegt auf dem Spiegelbild g' von g an h, denn
v ✖ u0
ist ein orientientierter Abstand von g zu h. Also:
g': x = w + µ u
B. Geraden nicht parallel
Geht genauso wie der Fall "parallele Geraden", zu verwenden ist der Richtungsvektor der Gerade, an der gespiegelt wird.
Zu dem Beispiel mit den parallelen Geraden (deine Bezeichnungen sind verkehrt herum):
- g: x = (1 2 3) + t(1 1 1);
- h: x = (5 9 0 ) + s(2 2 2);
mit Methode unter C. per Kopfrechnung:
g': x = (9 16 -3) + u(1 1 1)
Die Geraden des anderen Beispiels:
- g: x = (1/2/3) + t(-1/1/1) = a + t u
- h: x= (4/10/-1) + s(0/-2/2) = b + sv
schneiden einander nicht, sondern sind windschief, denn der Schnittansatz
t(-1 1 1) + s(0 2 -2) = (3 8 -4)
hat keine Lösung.
Ich bin nicht sicher, ob das Spiegelbild g' von g an h definiert ist, wenn g und h windschief sind. Am ehesten stelle ich mir darunter das Spiegelbild von g an einer Ebene E vor, die h und die Richtung von g enthält. Dann wäre der Rechenweg noch ein anderer: Wenn
- n0x -C = 0 (C Skalar) die Hessesche Normalenform von E ist, dann ist
- D = n0a - C der orientierte (skalare) Abtand von a zu E, und
- a' = a - 2D n0 Ortsvektor eines Punkt von g', so dass
- g': x = a' + µ u (µ Parameter)
Wie soll nun weiter gerechnet werden: Mit einander schneidenden oder mit windschiefen Geraden?
Der Fall "parallele Geraden" geht viel einfacher als in A. beschrieben (fiel mir leider erst später ein), nämlich analog dem Fall
C. Parallele Ebenen:
- Orstvektoren der Aufpunkte a von E und b von F,
- einer der (kollinearen) Normalenvektoren n
Der Punkt
a' = a + 2(b-a) = 2b -a
liegt auf dem Spiegelbild E' von E an F, denn a' ist das Bild der Punktspiegelung von a in b. Also hat E' die Normalenform:
E' : 0 = n (x - (2b -a)) =
n(x +a -2b)
Hey,
danke dir erstmal für die Tolle Antwort!
Könntest du eventuell noch die beiden Beispiele berechnen, damit ich es mit meinem Ergebnis vergleichen?
LG