Gegenseitige Lage Geraden?
Hallo,
ich komme gerade bei folgender Aufgabe nicht weiter. Ich habe aber schon einen Ansatz. Ist der soweit richtig? Und könnte mir bitte ab dem Punkt jemand zum Lösen der Aufgabe weiterhelfen?
Aufgabe: Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h. Berechnen Sie gegebenenfalls die Koordinaten des Schnittpunktes S.
Mein Ansatz:
Ich wäre sehr dankbar, wenn dort mal jemand der sich damit auskennt drüber gucken könnte und mir ab dem Punkt weiterhelfen könnte.
Liebe Grüße
2 Antworten
Hallo,
zunächst ein Hinweis auf zwei Fehler.
1) Es ist richtig, dass die Richtungsvektoren beider Geraden kollinear sind, aber es gilt
(2|1|-1) = (-1/3)•(-6|-3|3)
Der Faktor ist -1/3 und nicht 2 wie auf deinem Blatt oben geschrieben steht.
Daraus folgt, dass beide Geraden entweder identisch oder echt parallel sind.
2) Unten setzt du beide Parameterdarstellungen gleich. Das macht man, um einen eventuellen Schnittpunkt zu berechnen. Bei der Methode muss man aber darauf achten, dass man verschiedene Parameter benutzt (du hast nur t genommen).
Den Fehler kann ich gut nachvollziehen, denn in der Aufgabenstellung ist eine "Falle" in dem Sinn, dass bei beiden Geraden g und h in der Parameterdarstellung der Parameter mit t bezeichnet ist.
Beispiel: Gegeben seien zwei Geraden g und h durch
g : x = P + t•a
h : x = Q + s•b
wobei a und b die Richtungsvektoren und P und Q die Aufpunkte der Geraden g und h seien.
Um einen eventuellen Schnittpunkt zu suchen, musst die Gleichung lauten:
(i) P + t•a = Q + s•b
d.h. für die Gerade g nimmt man den Parameter t und für die Gerade h einen anderen Parameter, z.B. s. Die Vektorgleichung (i) lässt sich dann durch ein lineares Gleichungssystem (LGS) mit drei Gleichungen (falls ℝ³) und den zwei Unbekannten s und t ausdrücken.
Nimmt man nur einen Parameter, führt die Gleichung nicht zum Ziel, der Berechnung eines Schnittpunktes.
Einfaches Zahlenbeispiel (im ℝ²)
g : x = (0|3) + s•(1|2)
h : x = (1|1) + t•(1|-2)
Man sieht, dass die Richtungsvektoren von g und h nicht kollinear sind, also müssen sich die Geraden (im ℝ²) schneiden. Die Lösung des LGS ist s=0, t=-1 , der Schnittpunkt hat die Koordinaten (0|3).
Stellt man aber das LGS mit nur einem Parameter auf:
(0|3) + s•(1|2) = (1|1) + s•(1|-2)
führt das zu einem Widerspruch.
Also: für jede Gerade einen Parameter.
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In deiner Aufgabe kann man aber eine einfachere Gleichung aufstellen.
Wir wissen schon, dass die beiden Geraden entweder echt parallel oder identisch sein müssen. Wenn sie identisch sind, muss man den Aufpunkt der einen Geraden mit der Parameterdarstellung der anderen ausdrücken können.
Es genügt also folgende Gleichung:
(7|1|2) = (5|0|1) + t•(2|1|-1)
d.h. "Aufpunkt von h = Aufpunkt von g + t • Richtungsvektor von g"
Ist diese Gleichung für ein t (oder für alle t) wahr, sind g und h identisch.
Führt diese Gleichung zu einem Widerspruch, sind die Geraden echt parallel.
Gruß
Die sind parallel, aber gleich bei der a) ist -3 mal der linke Vektor gleich dem rechten. Wie kommst du auf den Faktor 2 auf der rechten Seite? Und was bedeutet das (2 | -1 | -1) drunter auf der rechten Seite?
Der Ansatz komponentenweise gleichzusetzen ist möglich. Auf der linken und rechten Seite müssten es aber unterschiedliche Parameter, also unterschiedliche Zeichen, sein. Wenn das Gleichungssystem keine Lösung hat, dann sind die Geraden unterschiedlich. Es genügt aber zu überprüfen, ob ein Punkt einer Geraden, z.B. der Stützpunkt, auf der anderen Geraden liegt. Dann hättest du ein Gleichungssystem mit nur einem Parameter.