Funktionen auf Symmetrie prüfen, Lösung unklar?

Hallo zusammen

Ich muss folgende Funktion auf ihre Symmetrie prüfen:

Aus der Funktion g kann ich den Punkt (1 / 2) ableiten.

Nun wollte ich zuerst prüfen, ob diese punktsymmetrisch ist.

Es gilt:

In der Lösung steht folgendes drin:

Nun meine Fragen:

1. Weshalb wurde der x-Wert + 1 unter dieser Klammer hinzugefügt und addiert?
2. Weshalb wurde der y-Wert 2 subtrahiert und wieso steht dieser dort hinten?

Solltet ihr mehr Infos brauchen, so ungeniert melden.

Lieber Gruss

Answer 1

[FataMorgana2010]

Die allgemeine Bedingung dafür, dass eine Funktion bezüglich des Symmetriezentrums (a,b) punktsymmetrisch ist, lässt sich schreiben als

f(a+x) - b = -f(a-x) +b

Für den Ursprung (0,0) fällt das zusammen zu

f(0+x) - 0 = -f(0-x) + 0 oder f(x) = -f(-x).

Hier prüfst du Symmetrie für den Punkt (1,2). Es muss also stimmen

f(1+x) - 2 = -f(1-x) + 2

Wenn du das einsetzst, dann steht da

$-\frac{1}{\left(1+x\right)-1}+2-2=-\left(\frac{1}{\left(1-x\right)+1}\ +2\right)+2$

Und dann kannst du beide Seiten ein bisschen zusammenfassen und hast das, was in der Lösung steht.

Answer 2

[MarkusPuch]

Die Symmetrie kannst du ja mit der Eigenschaft

-f(x) = f(-x) prüfen

Die Lösung zeigt eigentlich die Verschiebung zur Grundfunktion

1/x

Funktion ist ja hinsichtlich der Grundfunktion nach recht und oben verschoben und an der x Achse gespiegelt